第二章 基本初等函数（Ⅰ）（指对幂综合） 学案

中小学教育资源及组卷应用平台


学案 指对幂综合



表1 指数函 对数数函
定义域
值域
图象
性质 过定点 过定点[:]
减函数 增函数 减函数 增函数



表2 幂函数

为奇数为奇数 奇函数
为奇数为偶数
为偶数为奇数 偶函数
第一象限性质 减函数 增函数 过定点


考向一. 定义域值域问题
若偶函数的定义域为，则实数的值为________.
函数的定义域为____，值域_______.

考向二. 单调性问题
已知在上是增函数，则实数的取值范围_____.

已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.

已知函数（为常数）
若常数且，求的定义域
若，求函数的值域。


考向三. 比较大小
（1）、换元法 （2）、化同底指数幂 （3）、图象法 （4）、构造中间量法 （5）、直接利用函数的单调性 （6）、直接利用函数的单调性

三个数0.32，log20.3，20.3的大小顺序是（　　）
log20.3＜20.3＜0.32 B．0.32＜log20.3＜20.3 C．log20.3＜0.32＜20.3 D．0.32＜20.3＜log20.3

设a，b，c均为正数，且，，．则a，b，c大小顺序为（　　）
a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c

已知且，若，则，，的大小关系为( )
B． C． D．

9. 设奇函数在上是增函数，若，，，则大小关系为（ ）A． B． C． D．

10. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）．
B． C． D．


考向四. 基本运算
求下列各式的值：
＋log3＋log3＝________.

. __________．

已知，，则__________．

解方程：


考向五. 函数图像问题
函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．


幂函数,当取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分,即有,那么,等于_____.?


已知函数且点（4,2）在函数f（x）的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．





考向六. 分段函数问题
已知函数则=________.


设函数若，则的取值范围是
B. C. D.

已知函数，若对任意的，且都有成立，则实数的取值范围是________.

20. 已知函数（，且）是上的减函数，则实数的取值范围是_____.

21. 已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．

综合问题
已知函数,若f(x)为奇函数,则a=　　　　　.
?
已知函数，则（ ）
B． C． D．

已知，，则的取值范围是（　　）
B． C． D．

已知幂函数是奇函数，且．
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）求的值域．



已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)设,若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．



设为奇函数，为常数．
（1）确定的值（2）求证：是上的增函数
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数取值范围．






答案
-1
，


（1） （2）
解：∵0＜0.32＜0.30＝1，log20.3＜log21＝0，1＝20＜20.3，∴，故选：C．
解：∵a＞0，∴＝，∴．∵b＞0，∴，∴，∴．∵c＞0，∴0＜，∴1＜c＜2．
综上可知：a＜b＜c．故选：D．
A
由且可得，∵，∴．又由，得，
∴．∴，∴．
D
解：由为奇函数，且在上是增函数，可得，可得，且，，由，可得，故，
D
令，则．令，则．令，则,．所以函数，，的零点可以转化为求函数与函数与函数，,的交点，如图所示，可知，，
∴．

（1）．
【解析】原式。
（2）＝＝＝4﹣4＝0．

由题 即答案为.

A
已知函数，==，即函数是偶函数，故排除选项B，D;
由，得或 ，
当x>0时， ，，可排除选项C，故选A.
1.
由条件,得M,N,可得,即α=lo,β=lo.所以αβ=lo·lo=1.
（1）见解析； （2）；（3）.
（1）∵点在函数的图象上，
∴，∴．∴ .
画出函数的图象如下图所示．

（2）不等式等价于或解得，或，
所以原不等式的解集为．
（3）∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，∴函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．
结合图象可得，解得∴实数的取值范围为．

D



先画出函数的图象，如图所示：
因为互不相同，不妨设，且，
而，即有，可得，则，
由，且，可得，
且，
当时，，此时，但此时b，c相等，
故的范围为．
故答案为：．


（一）∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,∴f(0)=0,.∴a=.经检验a=满足要求.
(二)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a--a,解得a=.
A
由题得，令，则
所以，从而可知是奇函数所以 ，即所以
C
令则，∴，
又，…∴①，∴…②∴①②得．
则．
解：（1）∵幂函数f（x）＝x（m∈Z）是奇函数，且f（1）＜f（2）．
∴﹣2m2+m+3是正奇数，且m∈Z，∴m＝0，f（x）＝x3．
（2）y＝log22f（x）+log[2f（x）]＝＝（3log2x）2+log2+logx3
＝9（log2x）2﹣3log2x﹣1＝9（log2x﹣）2﹣，∵x∈[]，∴﹣1≤log2x≤1，
∴当log2x＝时，y取最小值﹣，当log2x＝﹣1时，y取最大值11．
∴y＝log22f（x）+log[2f（x）]，x∈[]的值域为[﹣，11]．
解（1）∵函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）＝log4（4﹣x+1）﹣kx）＝log4（）﹣kx＝log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）＝k，则k＝．
（2）g（x）＝log4（a?2x﹣a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即
方程f（x）＝g（x）只有一个解，由已知得log4（4x+1）x＝log4（a?2x﹣a），

∴log4（）＝log4（a?2x﹣a），方程等价于，
设2x＝t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1＝0有一解，若a﹣1＞0，设h（t）＝（a﹣1）t2﹣﹣1，
∵h（0）＝﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意
若a﹣1＝0，即a＝1时，h（t）＝﹣﹣1，由h（t）＝0，得t＝﹣＜0，不满足题意
若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a＝﹣3或a＝，
当a＝﹣3时，t＝满足题意当a＝时，t＝﹣2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a＝﹣3}．
解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，由＞0，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．令（x﹣1）（1﹣ax）＝0，得x1＝1，x2＝，∴＝﹣1，解得a＝﹣1．
（2）由（1）f（x）＝，令u（x）＝＝1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），
则u（x1）﹣u（x2）＝，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，
∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．∴u（x）＝1+（x＞1）是减函数，
又y＝u为减函数，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
（3）由题意知﹣（）x＞m，x∈（3，4）时恒成立，令g（x）＝﹣（）x，x∈（3，4），由（2）知在[3，4]上为增函数，又﹣（）x在（3，4）上也是增函数，
故g（x）在（3，4）上为增函数，∴g（x）的最小值为g（3）＝﹣，∴m＜﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣）．







21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)