3.1.1方程的根与函数的零点 学案

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学案 方程的根与函数的零点

知识要点
1．对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：
(1)函数的零点是一个实数而不是点，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
(3) 并不是所有的函数都有零点，如果有则零点一定在函数的定义域内。
2．对函数零点的判定定理的理解
函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一个，即方程f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如，如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根：x1＝0，x2＝1，x3＝2.

3．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
①理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系. (?http:?/??/?www.zxxk.com?)
②由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想．
4.函数与方程思想：
(1)方程有根 与x轴有交点 函数有零点
(2)若与有交点 有解



类型一　　函数零点的概念及求法
[例1]求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，x的取值范围．









变式1　
（1）若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a=______，b=______



（2）若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．


（3）已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值 B．等于0 C．恒为负值 D．不大于0



类型二　　函数零点的判断
[例2]　判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；


(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；


(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．



变式1　
（1）函数的零点所在的一个区间是 (　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)


（2）函数的零点个数为________．


（3）函数的零点个数为 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0


（4）已知函数的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b


（5）函数（m∈R）的所有零点之和为（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．与实数m有关



类型三 含参问题
[例3]已知函数，方程有三个实数解，则a的取值范围是　 　．


变式1．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是　 　．


变式2．已知函数，若存在四个不同的实数使得 记，则S的取值范围是　 　．



答案
[例1]时,的取值范围是；
时,的取值范围是或
变式1

(2)【解析】∵函数的一个零点为3，
∴．
∴，
解得或．
故答案：-1和0．
(3)【解析】由于是函数，的零点，则，
又因为函数，在（0，+∞）上是减函数，
所以当时，即．
即函数的值恒为正．
【答案】：A．
[例2]（1）存在。（2）存在。（3）存在。
变式1
（1）【解析】易知函数是增函数且连续，
且，
；
故答案为：（0，1），
【答案】C
（2）【解析】函数的零点个数，就是方程根的个数，也就是与，图象交点的个数，如图：

由图象可知两个函数的交点个数为1
（3）【解析】：当时，令解得；
当时，令解得，
所以已知函数有两个零点，
【答案】B
（4）【解析】：在同一个坐标系中画出3个函数函数，，的图象，函数的图象与3个函数的图象的交点的横坐标，就是已知的3个函数的零点，易知b＜a＜c．
【答案】C．

（5）【解析】函数的零点即方程的解，
即；
故或；
故函数的所有零点之和为；
【答案】C．

[例3]【解析】∵函数，
∴作出函数和的图象，
∵方程有三个实数解，
∴结合图形，得：1＜a＜2．
∴a的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
变式1.【解析】由题意，作出函数函数，的图象如下，
因为函数有3个零点，
所以关于x的方程有三个不等实根；
即函数的图象与直线有三个交点，
由图象可得：，解得或．
故答案为[﹣1，0）∪（0，1]．
变式2【解析】作出函数的图象如下图所示，

如上图所示，设，且设，
则直线与函数的图象有四个交点，
且由于，可得，所以，
由图象可知，点与点关于直线对称，则，且，
因此，
故答案为：[0，4）．












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