3.1.2 二分法求方程的近似解 学案

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学案 二分法求方程的近似解

知识要点
（1） 零点的概念: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
（2）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
（3）二分法概念：
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
（4）用二分法求函数的零点近似值的步骤：
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．


典型例题
例1：下列函数的图像中，不能用二分法求解其零点的是（ ）






例2.(1)求方程在区间（1，1.5）内的一个近似解（精确度0.1）．
(2)若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f （1）＝﹣2 f （1.5）＝0.625 f （1.25）＝﹣0.984
f （1.375）＝﹣0.260 f （1.4375）＝0.162 f （1.40625）＝﹣0.054
那么方程的一个近似根（精确度为0.05）可以是（　　）
A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5


例3(1)已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度为)，则最少需要将区间等分的次数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6


(2)已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间（1，2）内，则实数m的取值范围是　 　．


(3)关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是( )
A．越大，零点的精确度越高 B．越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与无关


(4)若在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若，则不存在实数，使得
B．若，则存在且只存在一个实数，使得
C．若，则不存在实数，使得
D．若，则有可能存在实数，使得


(5)用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 （ ）
A．0.64 B．0.8 C．0.7 D．0.6


(6)用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过（ ）
A． B． C． D．


(7)某同学用二分法求方程lnx+2x﹣6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在（2，3）之间，他用二分法操作了7次得到了方程lnx+2x﹣6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为（　　）
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001



参考答案
例1
【解析】根据零点存在定理，对于C，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，
【答案】：C
例2
（1）【解析】：函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近曲函数值用二分法逐次计算列表如下
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） ﹣1 0.875 ﹣0.2969 0.2246 ﹣0.05151
由图中参考数据可得f（1.375）＞0，f（1.3125）＜0，又因为题中要求精确到0.1，
所以近似解为1.3．
（2）解：由表格可得，
函数的零点在（1.4375，1.40625）之间；
结合选项可知，
方程的一个近似根（精确度为0.05）可以是1.42；
【答案】：C．
例3
（1）【解析】解：假设需要将区间（1，2）等分n次，则根据精确度为0.2得：，解得：，
所以n的最小值为3．故选A。
故答案为：3次．
（2）解：因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（1）f（2）＜0，
即（2﹣m）（5﹣m）＜0，
解得2＜m＜5．
故答案为：（2，5）
越大，零点的精确度越低，越小，零点的精确度越高，故选B
（4）【解答】解：由零点存在性定理可知选项D不正确；
对于选项B，可通过反例“f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”推翻；
同时选项A可通过反例“f（x）＝（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”；
【答案】：C．
（5）解：由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），
则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，
【答案】：C．
（6）【解答】解：真实零点离近似值x0最远即靠近或，而，因此误差最大不超过．
【答案】：B．
(7)解：根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在（2，3）之间，区间的长度为1，
每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，
则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为，不能确定方程的近似解，
当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为，确定了方程的近似解，
则该近似解的精确度应该在之间，
分析选项：B在区间内；
故选：B．






x

y

0

x

y

x

y

0

x

y

0

C

B

D

A



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