人教版数学初中八年级上册专题11.1 与三角形有关的线段知识讲解+巩固练习（含答案解析）

第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
知识
1．三角形有关概念
（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段___________组成的图形叫做三角形．
（2）三角形的基本元素：
①三角形的三条边：即组成三角形的___________．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的___________；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的___________．
③三角形的顶点：即相邻两边的___________．
（3）三角形的特征：
①三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
②三角形是一个___________的图形．
（4）三角形的符号：
三角形用符号“___________”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“___________”，读作“___________”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
2．三角形的分类
（1）按___________分类：
（2）按___________分类：
【注意】
三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
3．三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和___________第三边．
推论：三角形任意两边之差___________第三边．
4．三角形的高、中线、角平分线
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
定义
如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．
如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言
∵是的高，
∴，
（或）．
∵是的中线，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
用途举例
（1）得到线段垂直；
（2）得到角相等．
（1）得到线段相等；
（2）得到面积相等．
得到角相等．
线段在图中的位置
锐角三角形
三条高全在三角形内．
三条中线全在三角形内．
三条角平分线全在三角形内．
直角三角形
三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形
三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置
锐角三角形
交点在三角形内．
三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）．
交点在三角形内．
直角三角形
交点在直角顶点处．
钝角三角形
交点在三角形外．
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
5．三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的___________．
知识参考答案：
1．（1）首尾顺次相接（2）线段，内角，外角，公共端点（3）封闭（4）△，△ABC，三角形ABC
2．（1）边（2）角 3．大于，小于 5．稳定性
重点
重点
（1）三角形的高、中线与角平分线；（2）三角形的分类．
难点
（1）三角形的三边关系；（2）三角形的高的位置．
易错
三角形的高的位置．
一、三角形及其相关概念
1．三角形
（1）概念：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形用符号“△”表示．
（2）图形：顶点是，，的三角形，记作，读作“三角形”．
2．三角形的顶点、边和角
组成三角形的线段叫做三角形的边，（线段AB，线段BC，线段CA）
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，（顶点A，顶点B，顶点C）
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（，，）
的三边有时也用，，表示，如上图中，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示．
【例1】如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点．
（1）图中共有多少个三角形？并把它们表示出来．
（2）的三个顶点是什么？三条边是什么？
（3）以为边的三角形有哪些？
（4）以点为顶点的三角形有哪些？
（5）所对的边是什么？
【答案】详见解析．
【解析】（1）图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，．
【名师点睛】
（1）三角形的表示方法中，“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序可以自由安排．
（2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段．
二、三角形的分类
（1）一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角．
（2）从角的方面判断一个三角形的形状的方法：
①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形；
②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形；
③若最大内角为钝角，则该三角形是纯角三角形．
【例2】根据下列所给条件，判断的形状．
（1），，；
（2）；
（3）；
（4），．
【答案】（1）锐角三角形（2）钝角三角形（3）直角三角形（4）等腰三角形
【名师点睛】（1）按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最大内角的度数，若最大内角为锐角，则该三角形为锐角三角形；若最大内角为直角，则该三角形为直角三角形；若最大内角为钝角，则该三角形为钝角三角形．
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形．
（3）无论按哪一个标准对三角形进行分类，原则都是不重不漏．
三、三角形的三边关系
（1）在中，，，为三边长，则有，，．
（2）在中，，，为三边长，则有，，．
（3）应用：①判断三条线段能否组成三角形；
②已知三角形的两边，求第三边的取值范围．
【例3】已知三角形的两边长分别4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是
A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】选取的第三边一定小于两边之和，而且大于两边之差的绝对值．9–4【名师点睛】三角形三边之间关系的应用：
①在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形．
②已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是．
四、三角形的高、中线与角平分线
（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
【例4】如图，在中，，，是上两点，且，平分，则下列说法中不正确的是
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
【答案】C
【名师点睛】
（1）由三角形的高与三角形一边的垂线都能得到直角，但本质不同，三角形的高是一条线段，而三角形一边的垂线是一条直线．
（2）三角形的中线是一条线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形．
（3）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．
五、三角形的稳定性
【例5】把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的________性．
【答案】稳定
【解析】三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性．
【名师点睛】
（1）三角形的稳定性是三角形独有的性质，在生活和生产中应用广泛．
（2）在平面内，四边及四边以上的封闭图形不具有稳定性，但在生活和生产中也被广泛应用．为保证四边形的稳定性，常在四边形中构造三角形，最简单的方法是作对角线（四边形不相邻两顶点的连线）．
基础训练
1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是
A．3 cm，12 cm，8 cm B．6 cm，8 cm，15 cm
C．2.5 cm，3 cm，5 cm D．6.3 cm，6.3 cm，12.6 cm
2．已知三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5．其中可以构成三角形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．下列说法：
（1）等边三角形是等腰三角形；
（2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
（3）三角形的两边之差大于第三边；
（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．以下说法错误的是
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
6．下列长度的各组线段中，能组成一个三角形的是
A．3，5，10 B．10，4，6 C．4，6，9 D．3，1，1
7．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
8．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=8，DE=3，则BD=___________．
9．若三角形的两边长分别是3和7，则第三边长c的取值范围是_______
10．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
11．下图中以BC为边的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
能力测试
12．下面说法错误的是
A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点
13．已知三角形的三边长为3，8，x．若周长是奇数，则x的值有
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
14．以长为13 cm、10 cm、5 cm、7 cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
15．在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是
A．3C．616．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是
A． B．
C． D．
17．如图，在中，已知点、、分别为、、的中点，且的面积是，则阴影部分的面积等于
A． B． C． D．
18．作中边上的高，下列作法正确的是
A． B． C． D．
19．如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是垂线段
A．AE B．CD C．BF D．AF
20．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
21．下面的说法正确的是
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
B．直角三角形的高只有一条
C．三角形的高至少有一条在三角形内
D．钝角三角形的三条高都在三角形外面
22．三角形的三条中线的位置为
A．一定在三角形内 B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外 D．可能与三角形一条边重合
23．下列说法正确的是
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
24．若一个三角形周长是15，其三条边长都是整数，则此三角形最长边的最大值是___________．
25．已知AD是△ABC的中线，且△ABC的面积为6 cm2，则△ADB的面积为___________ cm2．
26．一个等腰三角形两边的长分别是15 cm和7 cm，则它的周长是___________cm．
27．已知等腰三角形的周长等于，一边长等于，求其他两边的长．
28．等腰三角形（有两条边相等的三角形为等腰三角形，其中相等的两边为腰，另一边为底边）一腰上的中线把该三角形的周长分为和两部分，求这个等腰三角形各边的长．
真题练习
29．（2019?河北）下列图形具有稳定性的是
A． B． C． D．
30．（2019?常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是
A．1 B．2 C．8 D．11
31．（2019?长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．4 cm，5 cm，9 cm B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm D．6 cm，7 cm，14 cm
参考答案
1．【答案】C
【解析】只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可得到三角形中任意两边之和大于第三边，从而判定这三条线段能构成一个三角形．A中，3+8<12，不能组成三角形；B中，6+8<15，不能组成三角形；C中，2.5+3>5，可以组成三角形；D中，6.3+6.3=12.6，不能组成三角形．故选C．
2．【答案】B
【解析】①中，1+3=4；②中，1+2=3；③中，1+4<6；④中，3+3=6；⑤中，6+6>10；⑥中，3+4>5．故可以构成三角形的是：⑤⑥．共2个，故选B．
3．【答案】A
【解析】构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故选A．
5．【答案】A
【解析】三角形的三条高不一定在三角形内部交于一点，比如直角三角形的三条高交于直角顶点．故选A．
6．【答案】C
【解析】A，∵3+5<10，∴3，5，10不能组成一个三角形；B，∵4+6=10，∴10，4，6不能组成一个三角形；C，∵4+6>9，∴4，6，9能组成一个三角形；D，∵1+1<3，3，1，1不能组成一个三角形；故选C．
7．【答案】D
【解析】根据三角形的三边关系，可得58．【答案】5
【解析】∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE=8，∴BD=BE–DE=8–3=5，故答案为：5．
9．【答案】4【解析】|7–3|10．【解析】设△ABC是等腰三角形，BC为底边，D是AC的中点，AB=x cm，BC=y cm．
（1）当AB＋AD=9 cm时，
有，解得，
6+6=12，不符合三角形三边关系，舍去．
（2）当AB＋AD=15 cm时，
有，解得，
4+10<10，符合三角形三边关系，符合题意．
综上可得，所求等腰三角形的腰长为10 cm，底边的长为4 cm．
11．【解析】三角形有三个顶点，在给定一条边BC后，只需再找一个顶点就可以了．在图中A、D、E、O都能与BC组成三角形．故以BC为边的三角形有4个，分别是△BCD，△BCE，△BCA，△BCO．
12．【答案】C
【解析】A，三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故命题正确；B，三角形的三条中线交于一点，是三角形的重心，故命题正确；三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故C错误，D正确．故选C．
13．【答案】D
【解析】根据三角形的三边关系可得：8–314．【答案】C
【解析】首先可以组合的数组有13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不能构成三角形，则可以画出的三角形有3个．故选C．
15．【答案】D
【解析】∵8–3b>c，b=8，c=3，∴816．【答案】A
【解析】从三角形的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形的高．根据定义，线段BE是△ABC的高的图形只有选项A．故选A．
18．【答案】D
【解析】判断三角形的高在三角形的内部或外部，关键取决于三角形的形状，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，不同的三角形的高所在的位置也不同．
19．【答案】C
【解析】AC边上的高线是指过点B作直线AC的垂线段，则BF为AC边上的高线．本题中AE是BC边上的高线，CD是AB边上的高线．故选C．
20．【答案】D
【解析】加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法的根据是三角形的稳定性．故选D．
21．【答案】C
【解析】A，三角形的三条高不一定都在三角形的内部，错误；B，直角三角形有三条高，其中有两条高就是两条直角边，错误；C，锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条是直角边，另一条高在内部；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，正确；D，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，错误．故选C．
22．【答案】A
【解析】三角形的三条中线的交点一定在三角形内．故选A．
23．【答案】B
【解析】三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的两条高是直角边，钝角三角形的一条高在三角形内部，两条高在三角形的外部．故正确的说法为①②，故选B．
24．【答案】7
【解析】根据三角形的三边关系，依题意得三角形的三边长可能是以下几种情况：
①1，7，7；②2，6，7；③3，5，7；④3，6，6；⑤4，4，7；⑥4，5，6；⑦5，5，5．
所以此三角形的最长边的最大值是7．
25．【答案】3
【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以△ADB的面积为3 ．故答案为：3．
27．【解析】因为给出的边长不确定是等腰三角形的腰长还是底边长，所以需要分两种情况讨论．
（1）当长的边是底边时，设腰长为，则，解得．
又因为长分别为，，的三条线段能组成三角形，所以等腰三角形其他两边的长均为．
（2）当长的边是腰时，另一腰长也是，则底边长为．而．说明长为，，的三条线段不能组成三角形，所以此种情况不存在．
故等腰三角形其他两边的长均为．
28．【解析】设在中，，是中线，依题意，
当时，，
，所以，
解得．则．
当时，，．
所以，
解得，则，．
综上，这个等腰三角形三边的长分别为，和或，和．
29．【答案】A
【解析】三角形具有稳定性．故选A．
30．【答案】C
【解析】设三角形第三边的长为x，由题意得：7-331．【答案】B
【解析】A、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16>15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13<14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误．故选B．