人教版数学初中八年级上册专题13.3 等腰三角形和13.4最短路径问题 知识讲解+巩固练习（含答案解析）

知识
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．
【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
4．等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．
5．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．
【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
6．最短路径问题
1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
知识参考答案：
1．相等，重合2．相等，等边3．等边，60° 4．等腰5．一半
重点
重点
等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质
难点
等腰三角形中的分类讨论问题
易错
等腰三角形“三线合一”性质的应用
一、等腰三角形的性质和判定
1． 应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．
2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是
A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠C
C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】因为AD⊥BC，D是BC的中点，所以△ABD与△ACD关于直线AD对称，由轴对称的性质可知△ABD≌△ACD，∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，但不能得到△ABC是等边三角形，故选D．
【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是
A． B．
C． D．或
【答案】D
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．
求证：△AEF是等腰三角形．
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，
∴△AEF是等腰三角形．
二、等边三角形的性质和判定
判定等边三角形时常用的选择方法：
若已知三边关系，一般选用（1）；
若已知三角关系，一般选用（2）；
若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．
【例4】下列推理中，错误的是
A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
【答案】B
【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．
【答案】5
【解析】已知∠AON=60°，当OP=OA=5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP为等边三角形．故答案为：5．
三、含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于
A．4 cm B．2 cm
C．3 cm D．1 cm
【答案】C
四、最短路径问题
通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.
【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
【解析】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q=PQ，PR=P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′=P′Q′，PR′=P″R′，且P′Q′+Q′R′+R′P″>P′Q+QR+RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
基础训练
1．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是
A． B．或 C．或 D．
2．一个等边三角形的对称轴共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于
A．30° B．40° C．45° D．36°
4．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为
A．6 B．9 C．3 D．8
5．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，则∠PAB的度数是
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图，在中，为的中点，，则__________．
7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为______．
分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__________°．
9．如图，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，试说明：AO⊥BC．
10．如图，在△ABC中，，是边上的中线，于，试说明．
11．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度数．
（2）求证：BD=CE．
能力测试
13．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于
A．20° B．30° C．35° D．40°
14．如图，在等腰中，，在BC上截取，作的平分线与AD相交于点P，连接PC，若的面积为，则的面积为
A． B． C． D．
15．如图，△ABC中，AB=14，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是__________．
16．如图，在中，，D是AB上的点，过点D作交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有__________（将所有正确答案的序号都填在横线上）．
①；②；③是等边三角形；④若，则．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
真题练习
18．（2019·浙江湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则
∠ACE的度数是
A．20° B．35° C．40° D．70°
19．（2019·江苏宿迁）若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是
A．12 B．10 C．8 D．6
20．（2019·黑龙江绥化）已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为__________．
21．（2019·青海）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接AD，若，则__________．
22．（2019·四川甘孜州）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为__________．
23．（2019·广西桂林）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________．
参考答案
1．【答案】B
【解析】分两种情况：①可以为顶角；②为底角时，顶角的度数为．故选B．
2．【答案】C
【解析】一个等边三角形有3条对称轴．故选C．
3．【答案】D
【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，
由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．
6．【答案】55°
【解析】为的中点，，
所以∠BAC=70°，∠C==55°．故答案为：55°．
7．【答案】 cm或12 cm
【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，根据题意得或，
解得或，经检验，均符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边是 cm或12 cm．故答案为： cm或12 cm．
8．【答案】80
【解析】∵AB=BD=DC，∴∠A=∠BDA，∠DBC=∠C=40°，
又∵∠BDA=∠DBC+∠C，∴∠A=∠DBC+∠C=40°+40°=80°．故答案为：80．
9．【解析】∵，，，
∴≌，
∴，
又∵，即△ABC是等腰三角形，
∴AO⊥BC．
10．【解析】∵，是边上的中线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
12．【解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC==70°．
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DBA==45°，
∴∠DBC=70°+45°=115°．
（2）∵AB=AD，AC=AE，AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE．
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．
13．【答案】B
14．【答案】A
【解析】∵BD=BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP=PD，
∴S△BPD=S△ABD，S△CPD=S△ACD，∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∵△ABC的面积为8 cm2，∴S△BPC=×8=4 cm2，故选A．
15．【答案】7
【解析】作点E关于AM的对称点H，则DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，当BH⊥AC时，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂线段BH的长．因为∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7．故答案为：7．
16．【答案】①②④
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+
∠DCB=90°，∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B，故①正确；
∴CD=BD，∵AD=BD，∴CD=AB，故②正确；
∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等边三角形，故③错误；
若∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°，∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=
∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．故答案为：①②④．
17．【解析】（1）∵AB=AC，∠A=36°，
18．【答案】B
【解析】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选B．
19．【答案】B
【解析】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去；②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B．
20．【答案】或
【解析】∵等腰三角形的一个外角为，∴与130°相邻的内角为50°，
当为顶角时，其他两角都为，；
当为底角时，其他两角为，，所以等腰三角形的顶角为或，故答案为：或．
21．【答案】70°
【解析】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，故答案为：70°．
22．【答案】2或2.5
【解析】如图，
∵AB=2，AD=7，∴BD=BC+CD=AD-AB=5，
∵AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，∴BC=AB或BC=CD，
∴BC=2或BC=2.5，故答案为：2或2.5．
23．【答案】3