课件23张PPT。1.1．1 任意角
教学目标
知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
情感与态度目标
提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．
教学过程
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
③角的分类：
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．
3．探究：教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α + k·360 ° ，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．
例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
4．课堂小结
①角的定义；
②角的分类：
③象限角；
④终边相同的角的表示法．
5．课后作业：
①阅读教材P2-P5； ②教材P5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题
思考题：已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？
解：角属于第三象限，
k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z) ．
当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜＜n·360°+135°(n∈Z) ，
此时，属于第二象限角
当k为奇数时，令k=2n+1 (n∈Z)，则n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈Z) ，
此时，属于第四象限角
因此属于第二或第四象限角．
课件45张PPT。1.1.1任意角角的定义 复习引入①角的第一种定义是有公共端点的两
条射线组成的图形叫做角.角的定义 复习引入①角的第一种定义是有公共端点的两
条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面
内一条射线绕着端点从一个位置旋转
到另一个位置所形成的图形．角的定义 复习引入讲授新课① 角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着
端点从一个位置旋转到另一个位置所
形成的图形.角的有关概念②角的名称 ABO②角的名称 顶点ABO②角的名称 始边顶点ABO②角的名称 始边终边顶点ABO③ 角的分类③ 角的分类正角：按逆时针方向旋转形成的角③ 角的分类正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角③ 角的分类正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角⑴在不引起混淆的情况下，“角? ”
或“∠? ”可以简化成“? ”；注意⑴在不引起混淆的情况下，“角? ”
或“∠? ”可以简化成“? ”；⑵零角的终边与始边重合，如果?
是零角? = 0°；注意⑶角的概念经过推广后，已包括正
角、负角和零角．⑴在不引起混淆的情况下，“角? ”
或“∠? ”可以简化成“? ”；⑵零角的终边与始边重合，如果?
是零角? = 0°；注意练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ???练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ????=210°练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ????=210°练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ???? =－150°练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ???? =－150°练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ????=－660 °练习请说出角?、?、?各是多少度？
(教材P.3图1.1-3) ????=－660 °2. 象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的
始边与x轴的非负半轴重合，那么角
的终边(端点除外)在第几象限，我们
就说这个角是第几象限角．2. 象限角的概念：例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxoyxo⑴45°例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxoyxo⑴45°例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxoyxo⑴45°例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxo例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxo例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxo例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？⑵30°60°???yxo例2．在直角坐标系中，作出下列各
角，并指出它们是第几象限的角．⑴60°； ⑵120°；⑶240°；
⑷300°；⑸420°；⑹480°.终边相同的角的表示探究: 教材P.3终边相同的角的表示 所有与角?终边相同的角，
连同?在内，可构成一个集合
S＝{?| ?=?+k·360 °, k∈Z }，
即任一与角?终边相同的角，
都可以表示成角?与整数个周
角的和．探究: 教材P.3⑴ k∈Z；注意⑵ ?是任一角；⑴ k∈Z；注意⑵ ?是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等
的角终边一定相同．终边相同的角有
无限个，它们相差360°的整数倍；⑴ k∈Z；注意⑷ 角?＋k·720 °与角?终边相同，但
不能表示与角?终边相同的所有角．⑵ ?是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等
的角终边一定相同．终边相同的角有
无限个，它们相差360°的整数倍；⑴ k∈Z；注意例3．在0°到360°范围内，找出与
下列各角终边相等的角，并判断它
们是第几象限角． ⑶－950°12'．⑴－120°；⑵640 °；例4．写出终边在y轴上的角的集合
(用0°到360°的角表示). 例5．写出终边在上的角的集合S，并
把S中适合不等式－360°≤? ＜720°
的元素?写出来． 课堂小结2. 角的分类：正角、零角、负角．1. 角的定义；3. 象限角；4. 终边相同的角的表示法．课后作业 阅读教材P.2-P.5；
教材P.5练习第1-5题；
教材P.9习题1.1第1、2、3题. 思考题．已知?角是第三象限角，
则2? ， 各是第几象限角？ 第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
课时目标 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角.2.理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按________________形成的角
负角
按________________形成的角
零角
一条射线________________，称它形成了一个零角
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是( )
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在( )
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
3．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．集合M＝，
P＝，则M、P之间的关系为( )
A．M＝P B．M?P
C．M?P D．M∩P＝?
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
二、填空题
7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．
8．经过10分钟，分针转了________度．
9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．
10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
三、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
能力提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
14．设α是第二象限角，问是第几象限角？
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少．
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
答案
知识梳理
1．(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转
2．第几象限角 3.α＋k·360°，k∈Z 整数个周角
作业设计
1．C 2.A
3．D [锐角θ满足0°<θ<90°；而B中θ<90°，可以为负角；C中θ满足k·360°<θ4．C [特殊值法，给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，
故180°－α在第三象限．]
5．B [对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．]
6．D [由k·360°＋180°<α得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．]
7．x轴的正半轴
8．－60
9．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
10．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α13．解 终边落在y＝x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在
y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，
k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．解 当α为第二象限角时，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z.
当k＝3n时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角．
1.1.1《任意角》导学案
【学习目标】
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
【重点难点】
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
【学法指导】
1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；
2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；
3、能用集合和数学符号表示象限角；
4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
【知识链接】
1．回忆：初中是任何定义角的？
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
2.角的概念的推广：?
3．正角、负角、零角概念
4.象限角
思考三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.
5.终边相同的角的表示
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中[来源:Zxxk.Com]
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
【学习反思】
1.尝试练习
（1）教材第3、4、5题.
（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。[来源:Zxxk.Com]
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
2.学习小结
（1）你知道角是如何推广的吗?
（2）象限角是如何定义的呢?
（3）你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?
【基础达标】
1．设， ，那么有（? ）．
A． B． C．（ ） D．
2．用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在 轴右侧的角的集合．
3．在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2） ；（3） ．[来源:学科网ZXXK]
3.解：（1）∵
∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；[来源:学|科|网Z|X|X|K]
（3）
所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．
【拓展提升】
1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
2. 下列命题正确的是： （ ）
（A）终边相同的角一定相等。 （B）第一象限的角都是锐角。
（C）锐角都是第一象限的角。 （D）小于的角都是锐角。
3. 若a是第一象限的角，则是第 象限角。
4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．
5.集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（?? ）
A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，
C． 轴或 轴上， D． 轴正半轴或 轴正半轴上
6.设 ，
C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ，
则相等的角集合为_ _．
参考答案
1. 解：2小时40分=小时，
故分针走过的角为480。
2. C 3. 一或三 4. 5. C 6. _B＝D，C＝E
双基限时练(一)
1．下列命题中正确的是( )
A．终边在x轴负半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
解析 易知A、B、C均错，D正确．
答案 D
2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第一、四象限
解析 取特殊值验证．
当k＝0时，知终边在第一象限；
当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．
答案 C
3．下列各角中，与角330°的终边相同的是( )
A．150° B．－390°
C．510° D．－150°
解析 330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，
∴330°与－390°终边相同．
答案 B
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 方法一 由270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z得：－90°－k·360°>180°－α>－180°－k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.
方法二 数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.
答案 C
5．把－1125°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．－3×360°＋45° B．－3×360°－315°
C．－9×180°－45° D．－4×360°＋315°
解析 －1125°＝－4×360°＋315°.
答案 D
6．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A∩B＝?
解析 集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角．∴A＝B.
答案 C
7.
如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________．
解析 解法一 根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC＝－75°.
解法二 由角的定义知，∠AOB＝45°，∠BOC＝－120°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°－120°＝－75°.
答案 －75°
8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________．
解析 与100°终边相同的角的集合为
{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}
令k＝－2，－1,0,1，
得α＝－620°，－260°，100°，460°.
答案 {－620°，－260°，100°，460°}
9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
解析 ∵2小时40分＝2小时，
∴－360°×2＝－960°.
答案 －960°
10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．
解析 2α＝k·360°＋20°，所以α＝k·180°＋10°，k∈Z.
答案 {α|k·180°＋10°，k∈Z}
11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.
解 由题意得5α＝k·360°＋α(k∈Z)，
∴α＝k·90°(k∈Z)．
∵180°<α<360°，∴180°∴2∴α＝3×90°＝270°.
12.
如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围．
解 ∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：
{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k·180°，k∈Z}．
因此，图中阴影部分的角α的范围为：
{α|30°＋k·180°≤α<115°＋k·180°，k∈Z}．
13．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不同的角？
(2)写出区间(－180°，180°)内的角？
(3)写出第二象限的角的一般表示法．
解 (1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，
α＝45°，135°，225°，315°.
∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．
(2)由－180°又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.
∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.
(3)其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.
