1.1.2 弧度制
课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________ rad
2π rad＝________
180°＝______ rad
π rad＝________
1°＝______rad≈
0.017 45 rad
1 rad＝______≈57°18′
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝________
l＝______
扇形的面积
S＝________
S＝______＝______
一、选择题
1．集合A＝与集合B＝的关系是( )
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．以上都不对
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1
3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．?
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A. B．－ C.π D．－π
6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
二、填空题
7．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.
三、解答题
11．把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；(2)π；(3)－4.
12．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
能力提升
13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
1.1.2 弧度制
答案
知识梳理
1．(1) (2)半径长 1 rad (3)|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0
2．2π 360° π 180° °
3. αR αR2 lR
作业设计
1．A
2．C [r＝，∴l＝|α|r＝.]
3．A [设扇形半径为r，圆心角为α，
则，
解得或.]
4．C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．D [∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.]
6．B [设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S内切＝πr2.
S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.]
7．－10π＋π
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋π.
8．25
解析 216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.
9.π或π
解析 －π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.
10．－，－，，
解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π.
11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，
∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．
(2)π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．
(3)－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad.
13．4
解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.
14．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°＝50 (cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋cR＝－(R－)2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
课件20张PPT。1.1.2弧度制
教学目标
知识与技能目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
过程与能力目标
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题
情感与态度目标
通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．
教学重点
弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?
规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
二、新课：
1．引 入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
2．定 义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳：
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
4．角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
； ；；．
②将弧度化为角度：
；；；．
5．常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．
6．特殊角的弧度
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
7．弧长公式
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
例1．把67°30＇化成弧度．
例2．把化成度．
例3．计算：
；．
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：
；．
例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
；．
解: (1)
而是第三象限的角,是第三象限角.
(2) 是第二象限角.
证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,
∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积．
证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴．
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．
8．课后作业：
①阅读教材P6 –P8；
②教材P9练习第1、2、3、6题；
③教材P10面7、8题及B2、3题．
课件49张PPT。1.1.2弧度制复习引入 初中所学的角度制是怎样规定角
的度量的?复习引入 初中所学的角度制是怎样规定角
的度量的? 规定把周角的 作为1度的角，
用度做单位来度量角的制度叫做角度
制． 弧度制定义 讲授新课 我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；
弧度制定义 讲授新课 我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；
用弧度来度量角的单位制叫做弧
度制．
弧度制定义 讲授新课 我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；
用弧度来度量角的单位制叫做弧
度制．
在弧度制下，1弧度记做1rad.
弧度制定义 讲授新课 我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；
用弧度来度量角的单位制叫做弧
度制．
在弧度制下，1弧度记做1rad.
在实际运算中，常常将rad单位
省略．弧度制定义 讲授新课1. 一定大小的圆心角?所对应的弧长与
半径的比值是否是确定的？与圆的半径
大小有关吗？思 考：1. 一定大小的圆心角?所对应的弧长与
半径的比值是否是确定的？与圆的半径
大小有关吗？思 考：2. 阅读教材P.6，完成探究.弧度制的性质 弧度制的性质 ①半圆所对的圆心角为弧度制的性质 ②整圆所对的圆心角为①半圆所对的圆心角为弧度制的性质 ②整圆所对的圆心角为①半圆所对的圆心角为③正角的弧度数是一个正数．弧度制的性质 ②整圆所对的圆心角为①半圆所对的圆心角为③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．弧度制的性质 ②整圆所对的圆心角为①半圆所对的圆心角为③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零．弧度制的性质 ⑥角?的弧度数的绝对值|?|=②整圆所对的圆心角为①半圆所对的圆心角为③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零．角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度：角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度：角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度：角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度：角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度：角度与弧度之间的转换 ②将弧度化为角度：角度与弧度之间的转换 ②将弧度化为角度：角度与弧度之间的转换 ②将弧度化为角度：角度与弧度之间的转换 ②将弧度化为角度：角度与弧度之间的转换 ②将弧度化为角度：常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少?的形式，不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 特殊角的弧度 弧长公式 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度
数)的绝对值与半径的积．例1．把67o30'化成弧度．例1．把67o30'化成弧度．例2．把 化成度． 例3．计算：例3．计算：例4．将下列各角化成0到2?的角
加上2k?(k∈Z)的形式：例5．将下列各角化成2k? ＋?(k∈Z,
0≤? ＜2?)的形式，并确定其所在的
象限． 例6．课堂小结1. 什么叫1弧度角?
2. 任意角的弧度的定义.
3. “角度制”与“弧度制”的联系与区别．课后作业 阅读教材P.6-P.8；
教材P.9练习第1、2、3、6题；
教材P.10习题1.1A组第7、8题
B组第2、3题. 1.1.2 《弧度制》导学案
【学习目标】
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；
4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
【重点难点】
弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
【学法指导】
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
【知识链接】
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
角的弧度制是如何引入的？
为什么要引入弧度制？好处是什么？
弧度是如何定义的？
角度制与弧度制的区别与联系?
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数？
2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
【学习过程】
（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？
（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。[来源:Z.xx.k.Com]
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：
，的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
（三）角度与弧度的换算
rad 1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1) （2） (3) (4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）— （3）
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
变式练习 1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．[来源:Zxxk.Com]
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为 ．
【学习反思】
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
【拓展提升】
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
[来源:Z。xx。k.Com]
[来源:Zxxk.Com]
双基限时练(二)
1．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝kπ，k∈Z}
B.
C．{α|α＝2kπ，k∈Z}
D.
解析 A选项表示的角的终边在x轴上；B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在x轴非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴非负半轴上，故选D.
答案 D
2．在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
解析 记r＝5，圆心角α＝×2π＝，
∴l＝|α|r＝π.
答案 B
3．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π B.π－8π
C.－10π D.－10π
解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°，
又2π＝360°，315°＝π，
∴－1485°＝－5×2π＋π＝－10π.
答案 D
4．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为( )
A．－π B.
C.π D．－
解析 ∵－＝－2π－，∴θ＝－π.
又－＝－4π＋，∴θ＝.
∴使|θ|最小的θ＝－.
答案 A
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )
A. B.
C. D．2
解析 设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝r，所以弧长r的圆心角的弧度数为＝.
答案 C
6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时≤α≤，
∴满足条件的集合为
.
答案 D
7．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．
解析 由公式θ＝知，半径r变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．
答案 2
8．将下列弧度转化为角度：
(1)＝________；
(2)－＝________；
(3)＝________；
(4)－π＝________.
答案 (1)15°
(2)－157°30′
(3)390°
(4)－75°
9．将下列角度化为弧度：
(1)36°＝________rad；
(2)－105°＝________rad；
(3)37°30′＝________rad；
(4)－75°＝________rad.
解析 利用1°＝rad计算．
答案 (1)
(2)－
(3)
(4)－
10．在直径为20 cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．
解析 150°＝150×＝，
∴l＝×10＝(cm)．
答案 cm
11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
11.
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．
解 ∵150°＝.
∴终边在阴影区域内角的集合为S＝{β|＋2kπ≤β≤＋2kπ，k∈Z}．
∵2012°＝212°＋5×360°＝rad，
又＜＜.
∴2012°＝∈S.
12.
如图所示，动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇所用的时间及P、Q各自走过的弧长．
解 设P、Q第一次相遇时所用的时间为t秒，则：
t·＋t·＝2π，解得t＝4，
即第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为：π×4＝π，
Q点走过的弧长为：8π－＝.
13．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R，依题意有解得θ＝或6.
即圆心角的大小为弧度或6弧度．
(2)设扇形所在圆的半径为 x cm，则扇形的圆心角θ＝，于是扇形的面积是
S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.
故当x＝2 cm时，S取到最大值．
此时圆心角θ＝＝2弧度，弦长AB＝2 ·2sin 1
＝4sin1 (cm)．
即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.
