1.2.1 任意角的三角函数(二)
课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是______；余弦函数y＝cos x的定义域是______；正切函数y＝tan x的定义域是_____________________________________________________________．
2．三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.
一、选择题
1. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B. C. D.或
3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5
5．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
6．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos α
C．sin α二、填空题
7．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围为________．
8．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α9．不等式tan α＋>0的解集是______________．
10．求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
三、解答题
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
12．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
能力提升
13．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
1．2.1 任意角的三角函数(二)
答案
知识梳理
1．R R {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
2．MP OM AT MP OM AT
作业设计
1．C
2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．]
3．A [设α终边与单位圆交于点P，
sin α＝MP，cos α＝OM，
则|OM|＋|MP|>|OP|＝1，即sin α＋cos α>1.]
4．C [∵1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，
∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.]
5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D正确．]
6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM7.
8.∪
9.
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
10.，k∈Z
解析 如图所示．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－∴x∈∪ (k∈Z)．即x∈ (k∈Z)．
11．解 (1)
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
12．解 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，故kπ＋<作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos 当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，sin 13．解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α<tan α，即sin α<α课件23张PPT。课件21张PPT。1.2.1任意角的
三角函数复习引入初中是怎样定义锐角三角函数的? ①?的始边与x轴的非负半轴重合，?
的终边没有表明?一定是正角或负角，以
及?的大小，只表明与?的终边相同的角
所在的位置； 讲授新课1. 三角函数定义 ②根据相似三角形的知识，对于确
定的角?，三个比值不以点P(x, y)在?的
终边上的位置的改变而改变大小；讲授新课1. 三角函数定义③当1. 三角函数定义讲授新课 ④除以上两种情况外，对于确定的
值?，比值 分别是一个确定的实数.1. 三角函数定义讲授新课 正弦、余弦、正切都是以角为
自变量，以单位圆上点的坐标或坐
标的比值为函数值的函数，我们把
它们统称为三角函数.1. 三角函数定义讲授新课2. 三角函数的定义域、值域2. 三角函数的定义域、值域2. 三角函数的定义域、值域例题与练习例1. 求下列各角的三个三角函数值： 例题与练习例2. 已知角?的终边经过点P(2,－3)，
求?的三个三角函数值．例题与练习例3. 已知角?的终边过点(a, 2a)(a≠0)，
求?的三个三角函数值．3. 三角函数的符号练习.确定下列三角函数值的符号：例4. 求证：若sin?＜0且tan?＞0 ，则
角?是第三象限角，反之也成立.例题与练习4. 诱导公式4. 诱导公式终边相同的角三角函数值相同 例5. 求下列三角函数的值：例题与练习例6. 求函数的值域.例题与练习课堂小结1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式.课后作业 阅读教材P.11-P.17；
《习案》第三课时.课件67张PPT。1.2.1任意角的
三角函数复习引入1. 三角函数的定义2. 诱导公式复习引入练习1.复习引入练习1.D复习引入练习2.复习引入练习2.B复习引入练习3.复习引入练习3.C三角函数线2．有向线段：带有方向（规定了起点和
终点）的线段叫有向线段．1．单位圆：圆心在原点，半径等于单位
长度的圆叫单位圆.讲授新课三角函数线2．有向线段：带有方向（规定了起点和
终点）的线段叫有向线段．1．单位圆：圆心在原点，半径等于单位
长度的圆叫单位圆. 本书中的有向线段规定方向与x轴或
y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．讲授新课练习．说出OM， MO， AT， TA ，
MP， AO的符号．A(1,0)OxyMP
T⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：从P作x轴垂线，M为垂足，MP为所求．⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：因为sin? =y=MP，所以MP叫?的正弦线!⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin?
的有向线段．3．三角函数线：⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．因为cos? =x=OM，所以OM叫?的余弦线!⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos?的
有向线段．想一想：由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：过点A(1,0)的切线上的点. 由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：过点A(1,0)的切线上的点. 能否找到有向线段使
其大小恰为由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：过点A(1,0)的切线上的点. 能否找到有向线段使
其大小恰为由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：过点A(1,0)的切线上的点. 能否找到有向线段使
其大小恰为由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：过点A(1,0)的切线上的点. 能否找到有向线段使
其大小恰为AT = 由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？想一想：过点A(1,0)的切线上的点. 即 tan?= =AT，
AT是?的正切线．能否找到有向线段使
其大小恰为AT = 由于tan? = ，能否找到使x = 1的点？⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．过A(1,0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)
交于T点，AT为所求.⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan?
的有向线段．因为tan?= =AT，所以AT是?的正切线． 把有向线段MP、OM、AT叫做角?
的正弦线、余弦线、正切线.三角函数线⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．步骤：⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P．⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M．例1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、
正切线.例2. 例3. 例4. 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角
x的范围．课堂小结1. 三角函数线的定义；
2. 会画任意角的三角函数线；
3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，
求角的范围.课后作业 阅读教材P.15-P.17；
《习案》作业四. 课件14张PPT。1.2.1任意角的
三角函数复习引入1. 三角函数的定义复习引入1. 三角函数的定义练习.复习引入2. 三角函数的符号练习.确定下列三角函数值的符号：例1. 求证：若sin?＜0且tan?＞0 ，则
角?是第三象限角，反之也成立.讲授新课1. 例题与练习例1. 求证：若sin?＜0且tan?＞0 ，则
角?是第三象限角，反之也成立.讲授新课1. 例题与练习练习. 教材P.15练习第6题.例2. 求函数的值域.讲授新课1. 例题与练习讲授新课2.诱导公式终边相同的角三角函数值相同 讲授新课2.诱导公式终边相同的角三角函数值相同 讲授新课2.诱导公式例3. 求下列三角函数的值：讲授新课3. 例题与练习例3. 求下列三角函数的值：练习. 教材P.15练习第7题第⑵、⑷.讲授新课3. 例题与练习课堂小结1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式.课后作业 阅读教材P.11-P.17；
《学案》P.9双基训练. 4-1.2.1任意角的三角函数（一）
教学目的：
知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.
教学过程：
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，
所以无意义；同理当时，无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
函 数
定 义 域
值 域
2．三角函数的定义域、值域
注意：
(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.?
3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因为当时，，，所以
， ， ， 不存在。
（2）因为当时，，，所以
， ， ， 不存在，
（3）因为当时，，，所以
， ， 不存在， ，
例2．已知角α的终边经过点，求α的四个函数值。
解：因为，所以，于是
； ；
； ．
例3．已知角α的终边过点，求α的四个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；；
当；
； ．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例4．求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
例5．求下列三角函数的值：（1）， （2），
例6．求函数的值域
解： 定义域：cosx(0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx(0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………, |cosx|=(cosx |tanx|=(tanx ∴y=(2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=(cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。
五、巩固与练习
1、教材P15面练习；
2、作业P20面习题1．２A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。
4-1.2.1任意角的三角函数（二）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：
一、复习引入：
1. 三角函数的定义
2. 诱导公式
练习1. D
练习2. B
练习3. C
二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。
例2.
例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．
答案：（1）；（2）；
三、巩固与练习：P17面练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业： 作业4
参考资料
例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1( 与 2( 与
解： 如图可知：
tan tan
例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0(到360(的角
1( sin(≥ 2( tan(
解： 1( 2(
30(≤(≤150(
30((90(或210((270(
补充：1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）．
§1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)
课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一)及其应用．
1．任意角三角函数的定义
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________，即：
sin(α＋k·2π)＝______，cos(α＋k·2π)＝________，
tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.
一、选择题
1．sin 780°等于( )
A. B．－ C. D．－
2．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为( )
A. B．－ C. D．－
3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是( )
A．{－3，－1,1,3} B．{－3，－1}
C．{1,3} D．{－1,3}
6．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝______.
8．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
三、解答题
11．求下列各式的值．
(1)cos＋tan π；
(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.
12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．
能力提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ
14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
答案
知识梳理
1. 3.相等 sin α cos α tan α
作业设计
1．A 2.B
3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0，
∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]
4．A [r＝，cos α＝＝＝－.∴b＝3.]
5．D [若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限，则f(x)＝－1.
∴函数f(x)的值域为{－1,3}．]
6．D [由任意角三角函数的定义，tan θ＝＝＝＝－1.∵sinπ>0，cosπ<0，
∴点P在第四象限．∴θ＝π.故选D.]
7．－
8．－2解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，
∴－29．负号
解析 ∵<2<π，∴sin 2>0，
∵<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<π，∴tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，
n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)原式＝cos＋tan＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)
＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°
＝－1＋1＋1－1＝0.
12．解 sin α＝＝y.
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y≠0时，由＝，解得y＝±.
当y＝时，P，r＝.
∴cos α＝－，tan α＝－.
当y＝－时，P(－，－)，r＝，
∴cos α＝－，tan α＝.
13．C [∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ<当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0.
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，
2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，tan >0，
从而tan >0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值．]
14．解 ∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a| (a≠0)．
(1)若a>0，则r＝17a，于是
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)若a<0，则r＝－17a，于是
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
1.21《任意角的三角函数》导学案
【学习目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；[来源:Z+xx+k.Com]
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
【重点难点】
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
【学法指导】
1.了解三角函数的两种定义方法；
2.知道三角函数线的基本做法.
【知识链接】：
根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
（一）复习：
1、初中锐角的三角函数 ______________________________________________________
2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________
（二）新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________
（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________
（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；
2．三角函数的定义域、值域
函 数
定 义 域
值 域
[来源:学科网]
3．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为_____（），对于第三、四象限为____（）；
②余弦值对于第一、四象限为_____（），对于第二、三象限为____（）；
③正切值对于第一、三象限为_______（同号），对于第二、四象限为______（异号）．
4．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：__________________________
即有：_________________________
_________________________
_________________________
5．当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
[来源:学科网ZXXK]
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，_______ ，________
．_________
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
（三）例题
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。
变式训练3： 求函数的值域
例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1. 与 2. tan与tan
【学习反思】
【拓展提升】
一、选择题
1. 是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 是第二象限角，且，则是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3、如果那么下列各式中正确的是（ ）
A. B. [来源:学&科&网]
C. D.
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
二、填空题
4. 已知的终边过（9，）且，，则的取值范围是 。
5. 函数的定义域为 。
6. 的值为 （正数，负数，0，不存在）
三、解答题
7.已知角α的终边上一点P的坐标为（）（），且，求
双基限时练(三)
1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sinα的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析 利用三角函数的定义可得sinα＝－，故选B.
答案 B
2．若角α的终边经过M(0,2)，则下列各式中，无意义的是( )
A．sinα B．cosα
C．tanα D．sinα＋cosα
解析 因为M(0,2)在y轴上，所以α＝＋2kπ，k∈Z，此时tanα无意义．
答案 C
3．下列命题正确的是( )
A．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角
B．若α>β，则cosαC．若sinα＝sinβ，则α与β是终边相同的角
D．若α是第三象限角，则sinαcosα>0且cosαtanα<0
解析 当θ＝π时，cosθ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A错误；当α＝390°，β＝30°时，cosα＝cosβ，故B错误；当α＝30°，β＝150°时，sinα＝sinβ，但α与β终边并不相同，故C错误，只有D正确．
答案 D
4．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析 ∵α，β为三角形的内角，且sinαcosβ<0，
又sinα>0，∴cosβ<0，∴β为钝角．
∴三角形为钝角三角形．
答案 B
5．设角α的终边过点P(3a,4a)(a≠0)，则下列式子中正确的是( )
A．sinα＝ B．cosα＝
C．tanα＝ D．tanα＝－
解析 ∵a≠0，∴tanα＝＝.
答案 C
6．已知sin2θ<1，则θ所在的象限为( )
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第二或第三象限 D．第一或第四象限
解析 ∵sin2θ<1，且y＝x在R上递减，
∴sin2θ>0，∴2kπ<2θ<π＋2kπ，k∈Z，
∴kπ<θ<＋kπ，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ<θ<＋2nπ，此时θ在第一象限内．当k＝2n＋1，n∈Z时，π＋2nπ<θ<＋2nπ，n∈Z，
此时θ在第三象限内．
综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A.
答案 A
7．角α终边上有一点P(x，x)(x∈R，且x≠0)，则sinα的值为________．
解析 由题意知，角α终边在直线y＝x上，当点P在第一象限时，x>0，r＝＝x，∴sinα＝＝.当点P在第三象限时，同理，sinα＝－.
答案 ±
8．使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角．
解析 要使原式有意义，必须cosαtanα>0，即需cosα，tanα同号，所以α是第一或第二象限角．
答案 一或二
9．点P(tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限．
解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，
∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P位于第四象限．
答案 四
10．若角α的终边经过P(－3，b)，且cosα＝－，则b＝________，sinα＝________.
解析 ∵cosα＝，∴＝－，∴b＝4或b＝－4.当b＝4时，sinα＝＝，当b＝－4时，sinα＝＝－.
答案 4或－4 或－
11．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.
解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)
＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°
＝1＋1＋1＋1＝4.
12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm至点P的位置．试问蚂蚁离x轴的距离是多少？
解 如下图所示，蚂蚁离开x轴的距离是PA.
在△OPA中，OP＝6，∠AOP＝60°，
∴PA＝OPsin60°
＝6×＝3.
即蚂蚁离x轴的距离是3 cm.
13．已知角α的终边落在直线y＝2x上，试求α的三个三角函数值．
解 当角α的终边在第一象限时，在y＝2x上任取一点P(1,2)，则有r＝，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝2.
当角α的终边在第三象限时，同理可求得：
sinα＝－，cosα＝－，tanα＝2.
