课件21张PPT。4-1.2.2同角三角函数的基本关系
教学目的：
知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为
，那么：，，，
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？
3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系： （2）平方关系：
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
2．例题分析：
一、求值问题
例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵， ∴
又∵是第二象限角， ∴，即有，从而
，
（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：
已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
例3、已知，求
解：
强调（指出）技巧：1( 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式； 2( “化1法”
可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
二、化简
练习1．化简．
解：原式．
练习2．
三、证明恒等式
例4．求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；
（2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
五、课后作业：《习案》作业第 五 课时
参考资料
化简．
解：原式
．
思考1．已知，求
解：1( 由
由 联立：
2(
2、已知 求
解：∵sin2( + cos2( = 1 ∴
化简，整理得：
当m = 0时，
当m = 8时，
课件27张PPT。1.2.2同角三角函
数的基本关系复习引入想一想 ？ 你能根据三角函数的定义推导
出同一个角?的三个三角函数之间
有一些什么关系? 讲授新课同角三角函数基本关系式:(1) 商数关系：讲授新课同角三角函数基本关系式:(1) 商数关系：讲授新课同角三角函数基本关系式:(2) 平方关系：讲授新课同角三角函数基本关系式:(2) 平方关系：注 意⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
如sin24?＋cos24?＝1等.注 意⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
如sin24?＋cos24?＝1等.⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意
义的角而言的.⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
如sin24?＋cos24?＝1等.⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意
义的角而言的.⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要
能灵活运用（正用、反用、变形用）. 注 意例1. 一、求值问题例2. 一、求值问题一、求值问题小 结：1. 整体代换;3. 正切化弦.2. “1”的活用;二、化简问题练习1.二、化简问题练习1.练习2.化简的基本要求 项数最少、次数最低、函数种类
最少;2. 分母不含根号, 能求值的要求值.练习3. 教材P.20练习第4题．三、证明问题例4. 关于三角恒等式的证明, 常有以下方法：小 结：关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： 从一边开始，证得它等于另一边，一
般由繁到简；小 结：关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： 从一边开始，证得它等于另一边，一
般由繁到简；(2) 左右归一法:证明左、右两边式子等于同一个式子．小 结：(3) 比较法:小 结：(4) 变式证明法：(3) 比较法:将原等式转化为与其等价的式子加以
证明．小 结：(4) 变式证明法：(3) 比较法:将原等式转化为与其等价的式子加以
证明．(5) 分析法．小 结：练习4. 教材P.20练习第5题．课堂小结 同角三角函数的两个基本关系式：课后作业 阅读教材P.18-P.20；
《习案》第五课时. 1．2.2 同角三角函数的基本关系
课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________(α≠kπ＋，k∈Z)．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝________；cos2α＝________；
(sin α＋cos α)2＝____________________；
(sin α－cos α)2＝________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；
sin α·cos α＝______________________＝________________________.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.
一、选择题
1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C．1 D.
2．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B. C．± D．±
4．已知tan α＝－，则的值是( )
A. B．3 C．－ D．－3
5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4 C．－8 D．8
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α等于( )
A. B．2 C．－ D．－2
二、填空题
7．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝________.
8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.
9．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝____.
10．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题
11．化简：.
12．求证：＝.
能力提升
13．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2 同角三角函数的基本关系
答案
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 (2)cos αtan α
作业设计
1．C 2.B 3.A
4．C [＝＝＝＝＝－.]
5．C [tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，∴tan α＋＝－8.]
6．B [方法一 由联立消去cos α后得(－－2sin α)2＋sin2α＝1.
化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0
∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－.
∴cos α＝－－2sin α＝－.
∴tan α＝＝2.
方法二 ∵cos α＋2sin α＝－，
∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，
∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]
7．－
8.
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
9．－
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α
10.
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，
∴k1＝1或k2＝－7.
当k＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
11．解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
12．证明 左边＝
＝
＝＝
＝右边．
∴原等式成立．
13．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解 (1)由韦达定理知：
sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴a2＝1＋2a.
解得：a＝1－或a＝1＋
∵sin θ≤1，cos θ≤1，
∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝－2.
(2)tan θ＋＝＋＝＝＝＝＝－1－.
1.2.2《同角的三角函数的基本关系（1）》导学案
【学习目标】
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
【重点难点】
重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
【学法指导】
通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。
【知识链接】[来源:学*科*网]
复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线：
。
提出疑惑：
与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？
。
【学习过程】
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】
探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即 .
根据三角函数的定义,当时,有 .
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
【例题讲评】
例1化简：
例2 已知
例3求证：
例4已知方程的两根分别是，求
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
例5已知，求
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
【基础达标】
化简下列各式
3．
【拓展提升】
1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为( )
2若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )
A0 B1 C－1 D±1
3若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为( )
A0 B C－ D±
4若＝10，则tanα的值为
5若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝
6若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝
双基限时练(四)
1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( )
A．sin1>sin1.2>sin1.5
B．sin1>sin1.5>sin1.2
C．sin1.5>sin1.2>sin 1
D．sin1.2>sin 1>sin 1.5
解析 <1<1.2<1.5<，画图易知．
答案 C
2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )
A．sinα＋cosα B．tanα＋sinα
C．cosα－tanα D．sinα－tanα
解析 由α为第二象限角知，
sinα>0，tanα<0，由三角函数线知|tanα|>sinα.
∴－tanα>sinα，即sinα＋tanα<0.
答案 B
3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
答案 D
4．依据三角函数线，作出如下判断：
①sin＝sin；②cos＝cos；③tan>tan；④sin>sin.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
5．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．x轴上 D．y轴上
解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cosα＝±1，故角α的终边在x轴上．
答案 C
6．已知sinα>sinβ，那么下列命题正确的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβ
B．若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβ
C．若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβ
D．若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ
解析 方法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sinα>sinβ，此时cosαsinβ，这时tanαsinβ，这时cosα方法二：如图，P1，P2为单位圆上的两点，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且y1>y2.
若α，β是第一象限角，又sinα>sinβ，则sinα＝y1，sinβ＝y2，cosα＝x1，cosβ＝x2.
∵y1>y2，∴α>β.
∴cosα若α，β是第二象限角，由图知P′1(x′1，y′1)，P′2(x′2，y′2)，其中sinα＝y′1，sinβ＝y′2，则
tanα－tanβ＝－＝.
而y′1>y′2>0，x′2∴－x′2>－x′1>0，
∴x′1x′2>0，x′2y′1－x′1y′2<0，
即tanα∴B不正确．同理，C不正确．故选D.
答案 D
7．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为________．
答案 －
8．比较大小：sin1155°________sin(－1654°)(填“<”或“>”)．
答案 >
9．已知α∈(0,4π)，且sinα＝，则α的值为________．
解析 作出满足sinα＝的角的终边，如图：
直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则终边在OA，OB上的角的集合为
.
又α∈(0,4π)，所以α＝或或或
答案 或或或
10．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围为________．
答案
11．试作出角α＝的正弦线、余弦线、正切线．
解 如图：
α＝的余弦线、正弦线、正切线分别为OM，MP，AT.
12．利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)tan与tan.
解
如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin＝MP，tan＝AT；
角的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin＝M′P′，tan＝AT′，由图可见，MP>M′P′，AT所以(1)sin>sin.
(2)tan13．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)tanα＝－1；(2)sinα＜－.
解 (1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，∴∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，
∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－＋kπ，k∈Z}．
①
②
(2)如图②所示，过点作x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，
∴∠xOP＝，∠xOP′＝，
∴满足条件的所有角α的集合是
{α|＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}．
