§1.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
一、选择题
1．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )
A．±tan α B．－tan α
C．tan α D.tan α
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．± C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C．－1 D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－ C. D．－
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B．－
C．± D．以上都不对
二、填空题
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
8．三角函数式的化简结果是______.
9．代数式的化简结果是______．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝____.
三、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
能力提升
13．化简：(其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α
作业设计
1．A 2.C
3．D [由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－ (α为第四象限角)．]
4．A [原式＝＝＝.]
5．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]
6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]
7．－
8．tan α
解析 原式＝＝＝＝＝tan α.
9．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
10．3
解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin α＋bcos β)＝1，
∴asin α＋bcos β＝1，
f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝3.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴上式的值为－1.
14．解 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
课件23张PPT。课件54张PPT。1.3三角函数的
诱导公式一、化简问题练习1.复习引入同角三角函数的关系一、化简问题练习1.复习引入同角三角函数的关系练习2.化简的基本要求 项数最少、次数最低、函数种类
最少;2. 分母不含根号, 能求值的要求值.复习引入同角三角函数的关系练习3. 教材P.20练习第4题．复习引入同角三角函数的关系二、证明问题例1. 复习引入同角三角函数的关系关于三角恒等式的证明, 常有以下方法：小 结：复习引入同角三角函数的关系关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： 从一边开始，证得它等于另一边，一
般由繁到简；小 结：复习引入同角三角函数的关系关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： 从一边开始，证得它等于另一边，一
般由繁到简；(2) 左右归一法:证明左、右两边式子等于同一个式子．小 结：复习引入同角三角函数的关系(3) 比较法:复习引入同角三角函数的关系小 结：(4) 变式证明法：(3) 比较法:将原等式转化为与其等价的式子加以
证明．复习引入同角三角函数的关系小 结：(4) 变式证明法：(3) 比较法:将原等式转化为与其等价的式子加以
证明．(5) 分析法．复习引入同角三角函数的关系小 结：练习4. 教材P.20练习第5题．复习引入同角三角函数的关系讲授新课诱导公式 (一)讲授新课诱导公式 (一)讲授新课诱导公式的结构特征讲授新课①终边相同的角的同一三角函数值相等；
②把求任意角的三角函数值问题转化为
求0°～360°角的三角函数值问题.诱导公式的结构特征讲授新课试求下列三角函数的值(1) sin1110°； (2) sin1290°.练习.讲授新课(1) 210o能否用(180＋?)的形式表达？
(0o＜? ＜90o)
(2) 210o角的终边与30o的终边关系如何？
思考下列问题一：讲授新课(1) 210o能否用(180＋?)的形式表达？
(0o＜? ＜90o)
[210o=180+30o](2) 210o角的终边与30o的终边关系如何？
思考下列问题一：讲授新课(1) 210o能否用(180＋?)的形式表达？
(0o＜? ＜90o)
[210o=180+30o](2) 210o角的终边与30o的终边关系如何？
[互为反向延长线或关于原点对称]思考下列问题一：讲授新课(5) sin210o与sin30o的值关系如何？(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
(3) 设210o、30o角的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
思考下列问题一：讲授新课(5) sin210o与sin30o的值关系如何？(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
(3) 设210o、30o角的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
[关于原点对称]思考下列问题一：讲授新课(5) sin210o与sin30o的值关系如何？(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
[P' (－x,－y) ](3) 设210o、30o角的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
[关于原点对称]思考下列问题一：讲授新课 对于任意角? ，sin?与sin(180＋? )
的关系如何呢？ 讲授新课思考下列问题二：(1) 角?与(180o+?)的终边关系如何？
(2) 设?与(180o+?)的终边分别交单位圆于P，
P'，则点P与P'具有什么关系？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
讲授新课(1) 角?与(180o+?)的终边关系如何？
[互为反向延长线或关于原点对称]
(2) 设?与(180o+?)的终边分别交单位圆于P，
P'，则点P与P'具有什么关系？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
思考下列问题二：讲授新课(1) 角?与(180o+?)的终边关系如何？
[互为反向延长线或关于原点对称]
(2) 设?与(180o+?)的终边分别交单位圆于P，
P'，则点P与P'具有什么关系？
[关于原点对称]
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
思考下列问题二：讲授新课(1) 角?与(180o+?)的终边关系如何？
[互为反向延长线或关于原点对称]
(2) 设?与(180o+?)的终边分别交单位圆于P，
P'，则点P与P'具有什么关系？
[关于原点对称]
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
[P′(－x,－y)]思考下列问题二：讲授新课(4) sin?与sin(180o+?)、cos?与cos(180o+?)、
tan?与tan(180o+?)关系如何？
(5) 经过探索, 你能把上述结论归纳成公式
吗？其公式特征如何？思考下列问题二：讲授新课诱导公式(二)讲授新课诱导公式(二)讲授新课诱导公式(二)的结构特征讲授新课诱导公式(二)的结构特征① 函数名不变，符号看象限 (把?看作
锐角时);② 求(180o+?)的三角函数值转化为求?
的三角函数值.讲授新课归纳公式sin(?－?)=sin?
cos(? －?)=－cos?
tan (?－?)=－tan?讲授新课例1．求下列三角函数值．(可查表)讲授新课思考下列问题三：(1) 30o与(－30o)角的终边关系如何？
(2) 设30o与(－30o)的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P' 的关系如何？
(3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？
(4) sin(－30o)与sin30o的值关系如何？讲授新课(1) 30o与(－30o)角的终边关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设30o与(－30o)的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P' 的关系如何？
(3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？
(4) sin(－30o)与sin30o的值关系如何？思考下列问题三：讲授新课(1) 30o与(－30o)角的终边关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设30o与(－30o)的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P' 的关系如何？
(3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？
[P'(x,－y)]
(4) sin(－30o)与sin30o的值关系如何？思考下列问题三：讲授新课 对于任意角? ，sin?与sin(－? )的
关系如何呢？ 讲授新课思考下列问题四：(1) ?与(－?)角的终边位置关系如何？
(2) 设?与(－?)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课(1) ?与(－?)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设?与(－?)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
思考下列问题四：讲授新课(1) ?与(－?)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设?与(－?)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
[关于x轴对称]
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
思考下列问题四：讲授新课(1) ?与(－?)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设?与(－?)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
[关于x轴对称]
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
[P' (x,－y)]思考下列问题四：讲授新课(4) sin?与sin(－?)、 cos?与cos (－?)、
tan?与tan(－?)关系如何？
(5) 经过探索，你能把上述结论归纳成
公式吗？其公式结构特征如何？思考下列问题四：讲授新课诱导公式(三)讲授新课诱导公式(三)讲授新课诱导公式(三)的结构特征讲授新课诱导公式(三)的结构特征① 函数名不变，符号看象限 (把?看作
锐角时);② 把求(－?)的三角函数值转化为求?
的三角函数值.讲授新课例2．求下列三角函数值．(可查表)(2) tan(－210o);
(3) cos(－2040o). (1)1. 诱导公式 (一)课堂小结2. 诱导公式 (二)课堂小结3. 诱导公式 (三)课堂小结课后作业 阅读教材P.23-P.27；
《习案》五、六. 1．3诱导公式（一）
教学目标
（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
（二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
（三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．
教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
教学过程
一、复习：
诱导公式（一）
诱导公式（二）
诱导公式（三）
诱导公式（四）
对于五组诱导公式的理解 ：
①
②这四组诱导公式可以概括为：
总结为一句话：函数名不变，符号看象限
练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简
二、新课讲授：
1、诱导公式（五）
2、诱导公式（六）
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：
练习3：求下列函数值：
例2．证明：（1）
（2）
例3．化简：
解：
小结：
①三角函数的简化过程图：
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
练习4：教材P28页7．
三．课堂小结
①熟记诱导公式五、六；
②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；
③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．
四．课后作业：
①阅读教材；
②《习案》作业七．
1.3.1《三角函数的诱导公式（一）》导学案
【学习目标】：
（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
【重点难点】
重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；
【学法指导】
回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。
【知识链接】
1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；
2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。
提出疑惑：
我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢？
【学习过程】：
（一）研探新知
1. 诱导公式的推导[来源:Zxxk.Com]
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：
（公式一）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
，是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？
若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：
（公式二）
特别地，角与角的终边关于轴对称，故有
（公式三）
特别地，角与角的终边关于原点对称，故有
（公式四）
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
【说明】：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；
【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
① ；
② ；
③ 。
可概括为：“ ”（有时也直接化到锐角求值）。
（二）、例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角
函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内[来源:学+科+网Z+X+X+K]
角的三角函数的值。
例2 化简．
[来源:学#科#网]
【基础达标】
（1）．若，则的取值集合为 （ ）
A． B．[来源:学*科*网]
C． D．
（2）．已知那么 （ ）
A． B． C． D．
（3）．设角的值等于 （ ）
A． B．－ C． D．－
（4）．当时，的值为 （ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关
（5）．设为常数），且
那么 A．1 B．3 C．5 D．7 （ ）
（6）．已知则 .
【拓展提升】
一、选择题
1．已知，则值为（ ）
A. B. — C. D. —
2．cos (+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ）
A. B. C. D. —
3．化简：得（ ）
A. B. C. D.±
4．已知，，那么的值是（ ）
A B C D
二、填空题
5．如果且那么的终边在第 象限
6．求值：2sin(－1110o) －sin960o+＝ ．
三、解答题
7．设，求的值．
8．已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求的值。
[来源:学#科#网]
∴ ＝＝
8．解： ∵sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()
∴( sin(3( ( () = 2cos(4( ( ()
∴( sin(( ( () = 2cos(( ()
∴sin( = ( 2cos( 且cos( ( 0
∴
双基限时练(六)
1．cos300°＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 ∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα＝－，
∴sinα＝.
∴cos＝cos
＝cos＝－sinα＝－.
答案 A
3．sin(π－2)－cos化简的结果是( )
A．0 B．－1
C．2sin2 D．－2sin2
解析 sin(π－2)－cos＝sin2－sin2＝0.
答案 A
4．若tan(7π＋α)＝a，则的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
解析 由tan(7π＋α)＝a，得tanα＝a，
∴＝
＝＝＝.
答案 B
5．已知sin＝，则cos的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵＋α－＝，∴cos＝cos
＝－sin＝－.故选D.
答案 D
6．A，B，C为△ABC的三个内角，下列关系式中不成立的是( )
①cos(A＋B)＝cosC
②cos＝sin
③tan(A＋B)＝－tanC
④sin(2A＋B＋C)＝sinA
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
解析 因为cos(A＋B)＝－cosC，所以①错；cos＝cos＝sin，所以②正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故③正确；sin(2A＋B＋C)＝sin(π＋A)＝－sinA，故④错．所以选C.
答案 C
7．若θ∈(0，π)，cos(π＋θ)＝，则sinθ＝__________.
解析 ∵cos(π＋θ)＝，
∴cosθ＝－，故θ∈，
∴sinθ＝.
答案
8．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.
解析 原式＝sin(90°－α)－sinα＋cos(90°－α)－cosα
＝cosα－sinα＋sinα－cosα＝0.
答案 0
9．化简：sin(－π)＋cos·tan4π－cosπ＝________.
解析 原式＝－sin＋cos·0－
cos＝sin＋0－cos＝－＝0.
答案 0
10．已知cos＝2sin，则
＝________.
解析 ∵cos＝2sin，
∴sinα＝2cosα.
原式＝＝＝.
答案
11．已知sin＝，求cos·sin的值．
解 cos·sin
＝cos·sin
＝sin·sin
＝×＝.
12．在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin.
∴sin＝sin.
∴cosB＝cosC.
∴B＝C.
∴△ABC为等腰三角形．
13．已知α是第三象限的角，f(α)＝
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos＝cos＝－sinα＝，
∴sinα＝－.
又α是第三象限的角，
∴cosα＝－＝－.
∴f(α)＝.
