课件24张PPT。1.4.1正弦、余弦函数的图象
教学目的：
知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状； （2）根据关系，作出的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象。
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
P与原点的距离r()
则比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
（2）余弦函数y=cosx的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？
根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) ((,0) (,-1) (2(,0)
余弦函数y=cosx x([0,2(]的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， （2）y=-COSx
●探究2． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到
（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；
（2）y=sin(x- π/3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
探究３．
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究４．
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究５．
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：《习案》作业：八
课件54张PPT。1.4.1 正弦函数、
余弦函数的图象复习引入1. 弧度定义；
2. 正、余弦函数定义；
3. 正、余弦线. 讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象xy1-1O2ππ1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 等分(2) 作正弦线(3) 平移(4) 连线做法：(1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 等分(2) 作正弦线(3) 平移(4) 连线做法：(1) 正弦函数y＝sinx的图象思考：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？x-1O2ππ1y讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (1) 正弦函数y＝sinx的图象知识探究（二）：余弦函数的图象 思考：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (2) 余弦函数y＝cosx的图象讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (2) 余弦函数y＝cosx的图象 你能根据诱导公式，以正弦函数图象
为基础，通过适当的图形变换得到余弦函
数的图象？探究 1：讲授新课1. 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦
函数、余弦函数的图象 (几何法)： (2) 余弦函数y＝cosx的图象讲授新课(2) y＝cosx(1) y＝sinx讲授新课(2) y＝cosx(1) y＝sinx 正弦函数y＝sinx的图象和余弦函数
y＝cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦
曲线．讲授新课 在作正弦函数的图象时，应抓住哪些
关键点?思考：讲授新课2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简
图 (描点法)：讲授新课2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简
图 (描点法)： 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 讲授新课2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简
图 (描点法)： 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 讲授新课2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简
图 (描点法)： 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 讲授新课2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简
图 (描点法)： 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 讲授新课例1. 作下列函数的简图
(1) y＝1＋sinx，x∈[0，2?]；
(2) y＝－cosx，x∈[0，2?].讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课 函数值加减，图象上下移动；
自变量加减，图象左右移动.小结：探究3．讲授新课 如何利用y＝cosx， x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝－cosx，x∈[0, 2?]的图象？ 如何利用y＝cosx， x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝－cosx，x∈[0, 2?]的图象？ 探究3．这两个图象关于x轴对称.小结：讲授新课探究4．讲授新课 如何利用y＝cos x，x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝2－cosx，x∈[0, 2?]的图象？ 如何利用y＝cos x，x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝2－cosx，x∈[0, 2?]的图象？探究4．讲授新课 先作y＝cosx图象关于x轴对称的图形，
得到y＝－cosx的图象，再将y＝－cosx的
图象向上平移2个单位，得到 y＝2－cosx
的图象.小结：探究5．讲授新课 不用作图, 你能判断函数
和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐
标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.探究5．讲授新课 不用作图, 你能判断函数
和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐
标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.小结：探究5．讲授新课 不用作图, 你能判断函数
和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐
标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.小结：这两个函数相等，图象重合.思考题. 分别利用函数的图象和三角函数
线两种方法，求满足下列条件的x的集合：讲授新课课堂小结1. 正弦、余弦曲线几何画法和五点法；
2. 注意与诱导公式，三角函数线的知识
的联系.课后作业 阅读教材P.30-P.33；
《习案》作业八.
§1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
1．正弦曲线、余弦曲线
2．“五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向________平移个单位长度即可．
一、选择题
1．函数y＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
2．函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．－sin x B．sin x
C．－cos x D．cos x
3．函数y＝－sin x，x∈[－，]的简图是( )
4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4 B．8 C．2π D．4π
6．方程sin x＝lg x的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin x，x∈R的图象向右平移个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．
8．函数y＝的定义域是________________．
9．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
10．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
三、解答题
11．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1－cos x(0≤x≤2π)．
12．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；
(2)y＝sin|x|，x∈R.
能力提升
13．求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
§1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
2．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
3．左
作业设计
1．D 2.B 3.D
4．A [
∵sin x>|cos x|，
∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.]
5．D [
作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.]
6．C [用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．]
7．y＝－cos x
解析 y＝sin xy＝sin
∵sin＝－sin＝－cos x，∴y＝－cos x.
8.，k∈Z
解析 2cos x＋1≥0，cos x≥－，结合图象知x∈，k∈Z.
9．2
解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
10.
解析 由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与
y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象知x∈[，π]．
11．解 利用“五点法”作图
(1)列表：
X
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点作图，如图所示．
(2)列表：
X
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图所示．
12．解 (1)y＝|sin x|＝ (k∈Z)．
其图象如图所示，
(2)y＝sin|x|＝，其图象如图所示，
13．解 由题意，x满足不等式组，即，作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
14．解 f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3)．
1.4.1《正弦函数,余弦函数的图象》导学案
【学习目标】
（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状； （2）根据关系，作出的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；[来源:学§科§网Z§X§X§K]
【重点难点】
重点：：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象；
难点：运用几何法画正弦函数图象。
【学法指导】
理解并掌握作正弦函数图象的方法，会用五点法作正余弦函数简图．
【知识链接】
1．正、余弦函数定义：____________________
2．正弦线、余弦线：______________________________
3. 10.正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 、 、 、 、 .
20.作在上的图象时,五个关键点是 、 、 、 、 .
步骤：_____________，_______________，____________________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
[来源:学科网ZXXK]
【学习过程】
1.创设情境：
问题1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？
问题2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？
2.探究新知： 问题一：如何?作出的图像呢？
?
问题二：如何得到的图象？
?
问题三：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？
组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。
“五点法”作图可由师生共同完成
小结作图步骤：
思考：如何快速做出余弦函数图像？
例1、画出下列函数的简图：y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线
变式训练：ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
[来源:学科网ZXXK]
【学习反思】
1、数学知识：
2、数学思想方法：
【基础达标】
画出下列函数的简图：(1) y=|sinx|， （2）y=sin|x|
思考：可用什么方法得到的图像？
【拓展提升】
1. 用五点法作的图象.
2. 结合图象，判断方程的实数解的个数.
3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
[来源:学,科,网][来源:Zxxk.Com]
双基限时练(七)
1．函数y＝－sinx，x∈的简图是( )
解析 可以用特殊点来验证：x＝0时，y＝－sin0＝0，排除A、C；
又x＝－时，y＝－sin＝1，故选D.
答案 D
2．用五点法作y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析 令2x分别等于0，，π，，2π时，得x＝0，，，，π.
答案 B
3．若cosx＝0，则角x等于( )
A．kπ(k∈Z) B.＋kπ(k∈Z)
C.＋2kπ(k∈Z) D．－＋2kπ(k∈Z)
答案 B
4．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得g(x)的图象
D．向右平移个单位，得g(x)的图象
答案 D
5．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
答案 D
6．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
7．下列函数图象相同的序号是________．
①y＝cosx与y＝cos(x＋π)；
②y＝sin与y＝sin；
③y＝sinx与y＝sin(2π－x)；
④y＝sin(2π＋x)与y＝sinx.
答案 ④
8．函数y＝sinx的图象和y＝cosx的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．
解析 在同一坐标系内画出图象即可．
答案 和
9．利用正弦曲线，写出函数y＝2sinx的值域是________．
解析 y＝sinx的图象如图．
由图知，当x＝时，sinx取到最大值1，
当x＝时，sin＝.∴当≤x≤时，1≤y≤2.
答案 [1,2]
10．函数y＝的定义域是________．
答案
11．用“五点法”画函数y＝－2＋sinx(x∈[0,2π])的简图．
解 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
－2＋sinx
－2
－1
－2
－3
－2
利用正弦函数的性质描点作图(如下图所示)．
12．作出函数y＝－sinx，x∈[－π，π]的图象，并回答下列问题：
(1)观察函数的图象，写出满足下列条件的区间：
①sinx>0；②sinx<0；
(2)直线y＝与y＝－sinx的图象有几个交点？
解 用五点法作图如下：
x
－π
－
0
π
y＝－sinx
0
1
0
－1
0
(1)根据图象可知，图象在x轴上方的部分－sinx>0，在x轴下方的部分－sinx<0，所以当x∈(－π，0)时，－sinx>0；当x∈(0，π)时，－sinx<0.即当x∈(0，π)时，sinx>0；当x∈(－π，0)时，sinx<0.
(2)画出直线y＝，知有两个交点．
13．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
解
观察图可知：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形；有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以转化为求矩形OABC的面积．
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，
所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.
所以所求封闭图形的面积为4π.
