1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sin x，y＝cos x的周期性及奇偶性．
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝________知y＝sin x与y＝cos x都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是______，定义域关于________对称．
(2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sin x是R上的______函数，它的图象关于______对称．
(3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cos x是R上的______函数，它的图象关于______对称．
一、选择题
1．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π C．2π D．4π
2．函数f(x)＝sin(ωx＋)的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
4．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为( )
A．－ B. C．－ D.
6．函数y＝cos(sin x)的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2πx＋)的最小正周期是________．
8．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝______.
9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是______________．
10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中的假命题的序号是________．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
能力提升
13．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．
14．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1．(1)非零常数T 每一个值 f(x＋T)＝f(x) (2)最小正周期
2．sin x cos x 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π
3．(1)R 原点 (2)－sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y轴
作业设计
1．D 2.B
3．B [∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]
4．D [画出y＝sin|x|的图象，易知．]
5．D [f＝f＝－f＝－sin＝sin ＝.]
6．B [cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)．
∴T＝π.]
7．1
8．±3
解析 ＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.
9．f(x)＝sin|x|
解析 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x.
∴f(x)＝sin|x|，x∈R.
10．①④
解析 易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立．
11．解 (1)x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.
∴f(x)＝＋定义域为R.
∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
12．解 x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，
∵x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈[π，3π]．
13.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，
则y在[0,1]上至少含49 个周期，
即，解得ω≥π.
14．解 ∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)
＝ln(－sin x)
＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
课时目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的性质：
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
______
______
值域
______
______
奇偶性
______
______
周期性
最小正周期：______
最小正周期：______
单调性
在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减
在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减
最值
在________________________时，ymax＝1；在________________________________________时，ymin＝－1
在______________时，ymax＝1；在__________________________时，ymin＝－1
一、选择题
1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )
A．sin α>sin β B．sin β>sin α
C．sin α≥sin β D．sin α与sin β的大小不定
3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A. B.
C. D.
4．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°
B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°6．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin(π＋x)，x∈的单调增区间是____________．
8．函数y＝2sin(2x＋)(－≤x≤)的值域是________．
9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．
10．设|x|≤，函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是______．
三、解答题
11．求下列函数的单调增区间．
(1)y＝1－sin ；
(2)y＝log(cos 2x)．
12．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
能力提升
13．已知sin α>sin β，α∈，β∈，则( )
A．α＋β>π B．α＋β<π
C．α－β≥－π D．α－β≤－π
14．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B. C．2 D．3
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
答案
知识梳理
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z) x＝＋2kπ (k∈Z)
x＝－＋2kπ (k∈Z) x＝2kπ (k∈Z) x＝π＋2kπ (k∈Z)
作业设计
1．C 2.D
3．C [y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－
当sin x＝－时，ymin＝－；
当sin x＝1时，ymax＝1.]
4．C [由y＝|sin x|图象易得函数单调递增区间，k∈Z，当k＝1时，得为y＝|sin x|的单调递增区间．]
5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°
由三角函数线得sin 11°即sin 11°6．A [因为函数周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos(2x＋)＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.]
7.
8．[0,2]
解析 ∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤.
∴0≤sin(2x＋)≤1，∴y∈[0,2]
9．b解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)∵b10.
解析 f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x
＝－(sin x－)2＋
∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
∴当sin x＝－时，f(x)min＝.
11．解 (1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
(2)由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ∴y＝log(cos 2x)的增区间为，k∈Z.
12．解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
13．A [∵β∈，
∴π－β∈，且sin(π－β)＝sin β.
∵y＝sin x在x∈上单调递增，
∴sin α>sin β?sin α>sin(π－β)
?α>π－β?α＋β>π.]
14．B [要使函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则应有≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6.
∴ω的最小值为，故选B.]
课件24张PPT。1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
教学过程：
一、复习引入：
1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
（观察图象） 1( 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2( 规律是：每隔2(重复出现一次（或者说每隔2k(,k(Z重复出现）
3( 这个规律由诱导公式sin(2k(+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2、说明：1(周期函数x(定义域M，则必有x+T(M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2(“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)(f (x0)）
3(T往往是多值的（如y=sinx 2(,4(,…,-2(,-4(,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2( （一般称为周期）
从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ① ②（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
练习1。求下列三角函数的周期：
1( y=sin(x+) 2( y=cos2x 3( y=3sin(+)
解：1( 令z= x+ 而 sin(2(+z)=sinz 即：f (2(+z)=f (z)
f [(x+2)(+ ]=f (x+) ∴周期T=2(
2(令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2()=cos(2x+2()=cos[2(x+()]
即：f (x+()=f (x) ∴T=(
3(令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2()=3sin(++2()
=3sin()=f (x+4() ∴T=4(
思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，如：①； ②； ③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期
思考： 求下列函数的周期： 1(y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2( y=|sinx|
解：1( y1=sin(2x+) 最小正周期T1=( y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=
∴T为T1 ,T2的最小公倍数2( ∴T=2(
2( T=( 作图
三、巩固与练习P36面
四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：《习案》作业九
1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
教学过程：
复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？
二、讲解新课：
奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
2.单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x= k∈Z y=cosx的对称轴为x= k∈Z 练习1。（1）写出函数的对称轴； （2）的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线
思考：P46面11题。
4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1) (2)
例2 函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3．P38面例3
例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ① ②
例5 求函数 的单调递增区间；
思考：你能求的单调递增区间吗？
练习2：P40面的练习
三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质
1． 单调性
2． 奇偶性
3． 周期性
五、课后作业：《习案》作业十。
课件47张PPT。1.4.2 正弦函数、
余弦函数的性质 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 复习回顾思考1． 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2?]的图象中，
五个关键点是哪几个? 复习回顾思考1．思考2．复习回顾 如何利用y＝cosx， x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝－cosx，x∈[0, 2?]的图象？ 如何利用y＝cosx， x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝－cosx，x∈[0, 2?]的图象？ 这两个图象关于x轴对称.小结：思考2．复习回顾 如何利用y＝cos x，x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝2－cosx，x∈[0, 2?]的图象？思考3．复习回顾 如何利用y＝cos x，x∈[0, 2?]的图
象，通过图形变换(平移、翻转等)来得
到y＝2－cosx，x∈[0, 2?]的图象？ 先作y＝cosx图象关于x轴对称的图形，
得到y＝－cosx的图象，再将y＝－cosx的
图象向上平移2个单位，得到 y＝2－cosx
的图象.小结：思考3．复习回顾 不用作图, 你能判断函数
和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐
标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.思考4．复习回顾 不用作图, 你能判断函数
和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐
标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.小结：思考4．复习回顾 不用作图, 你能判断函数
和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐
标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.小结：这两个函数相等，图象重合.思考4．复习回顾讲授新课问题：(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？
过了十四天呢？……
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点
运动的规律如何呢？讲授新课观察正(余)弦函数的图象讲授新课观察正(余)弦函数的图象讲授新课y＝sinx观察正(余)弦函数的图象讲授新课(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出
现的；
正弦函数的性质1讲授新课(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出
现的；
(2) 规律是：每隔2?重复出现一次（或者
说每隔2k?，k?Z重复出现）；
正弦函数的性质1讲授新课(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出
现的；
(2) 规律是：每隔2?重复出现一次（或者
说每隔2k?，k?Z重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx
可以说明.正弦函数的性质1讲授新课(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出
现的；
(2) 规律是：每隔2?重复出现一次（或者
说每隔2k?，k?Z重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx
可以说明.正弦函数的性质1——周期性结论：象这样一种函数叫做周期函数.讲授新课 对于函数f(x)，如果存在一个非零
常数T，使得当x取定义域内的每一个
值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数
f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做
这个函数的周期.周期函数定义：讲授新课问题：讲授新课问题：讲授新课问题：讲授新课 例1. 求下列三角函数的周期：讲授新课练习1. 求下列三角函数的周期：讲授新课一般结论: 讲授新课三个函数的周期是什么?讲授新课一般结论: 讲授新课思考:求下列三角函数的周期：讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，
说出函数图象有怎样的对称性？其特点
是什么？y＝cosxy＝sinx讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性讲授新课正弦、余弦函数的性质3——单调性讲授新课正弦、余弦函数的性质3——单调性讲授新课对称轴 y=sinx的对称轴为 y=cosx的对称轴为讲授新课练习2.讲授新课练习2.讲授新课思考.教材P.46习题1.4第11题.讲授新课例2.判断下列函数的奇偶性讲授新课例3.讲授新课例4.下列函数有最大值、最小值吗？如果
有，请写出取最大值、最小值时的自变
量x的集合，并说出最大值、最小值分别
是什么.讲授新课例5.不通过求值，指出下列各式大于
0还是小于0.讲授新课例6.讲授新课思考.课堂小结 正弦函数、余弦函数的周期性；
正弦函数、余弦函数的奇偶性；
正弦函数、余弦函数的单调性.课后作业 阅读教材P.34-P.40；
《习案》作业九. 1.4.2《正弦函数余弦函数的性质》导学案
【学习目标】：
会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；
会求含有的三角式的性质；
会应用正、余弦的值域来求函数和函数的值域。
【重点难点】
正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。
【学法指导】
探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.
【知识链接】
1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.
2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.
3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.
4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.
5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.
6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.
7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.
8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.
9.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.
10.正弦函数的周期是___________________________.
11.余弦函数的周期是___________________________.
12.函数y=sinx+1的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x的最大值是_____________,最小值是_________________.
13.y=-3cos2x取得最大值时的自变量x的集合是_________________.
14.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________
， ， ，
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间．
解：
变式训练1. 求函数y=sin(-2x+)的单调增区间
解：
[来源:学科网ZXXK]
例2：判断函数的奇偶性
解：
[来源:学|科|网]
变式训练2. )
解：
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
[来源:Zxxk.Com]
例3. 比较sin2500、sin2600的大小
解：
变式训练3. cos
解：
【学习反思】
1、数学知识：
2、数学思想方法：
【基础达标】
一、选择题
1.函数的奇偶数性为（ ）.
A. 奇函数 B. 偶函数
C．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
2.下列函数在上是增函数的是（ ）[来源:Zxxk.Com]
A. y=sinx B. y=cosx
C. y=sin2x D. y=cos2x
3.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）.
A. B.
C. D.
二、填空题
4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。
① ② ③ ④
__________________________________________________________
5.不等式≥的解集是______________________.
三、解答题
6.求出数的单调递增区间.
【拓展提升】
一、选择题
1．y=sin(x-)的单调增区间是（ ）
A. [kπ-,kπ+] (k∈Z) B. [2kπ-,2kπ+ ](k∈Z)
C. [kπ-, kπ-] (k∈Z) D. [2kπ-,2kπ-] (k∈Z)
2．下列函数中是奇函数的是（ ）
A. y=-|sinx| B. y=sin(-|x|) C. y=sin|x| D. y=xsin|x|
3．在 (0,2π) 内，使 sinx>cosx 成立的x取值范围是（ ）
A .(,)∪( π, ) B. ( ,π)
C. ( ,) D.( ,π)∪( ,)
二、填空题
4．Cos1,cos2,cos3的大小关系是______________________.
5．ｙ=sin(3x-)的周期是__________________.
三、解答题
6．求函数y=cos2x - 4cosx + 3的最值
双基限时练(八)
1．下列函数以π为周期的是( )
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝1＋cos2x D．y＝cos3x
答案 C
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 f(x)＝sin＝－sin
＝－cos2x.
∴最小正周期为T＝＝π，且为偶函数．
答案 B
3．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
解析 显然D中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A、C中每经过一个单位长度，图象重复出现．B中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A、B、C中函数是周期函数，D中函数不是周期函数．
答案 D
4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1.
∴sin＝±1.
∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.
答案 C
5．函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析 ∵T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.
答案 D
6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于( )
A．1 B.
C．0 D．－
解析 f＝f＝f＝sinπ＝.
答案 B
7．函数y＝sin2x的最小正周期T＝________.
解析 T＝＝π.
答案 π
8．y＝3sin的最小正周期为π，则a＝______.
解析 由最小正周期的定义知＝π，∴|a|＝2，a＝±2.
答案 ±2
9．已知f(n)＝sin(n∈Z)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.
解析 ∵f(n)＝sin(n∈Z)，∴f(1)＝，f(2)＝1，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－1，f(7)＝－，f(8)＝0，…，不难发现，f(n)＝sin(n∈Z)的周期T＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)
＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝＋1＋＋0＝＋1.
答案 ＋1
10．函数y＝的奇偶性为________．
解析 由题意，当sinx≠1时，y＝＝cosx，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
答案 非奇非偶函数
11．函数f(x)满足f(x＋2)＝－.
求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
解 因为f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)
＝－＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．
12．判断函数f(x)＝ln(sinx＋)的奇偶性．
解 ∵>|sinx|≥－sinx，
∴sinx＋>0.
∴定义域为R.
又f(－x)＝ln
＝ln(－sinx)
＝ln
＝ln(＋sinx)－1
＝－ln(sinx＋)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
13．设有函数f(x)＝asin和函数g(x)＝bcos(a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．
解 ∵f(x)和g(x)的最小正周期之和为，
∴＋＝，解得k＝2.
∵f＝g，
∴asin
＝bcos，
即a·sin＝b·cos.
∴a＝b，即a＝b.①
又f＝－g－1，
则有a·sin＝－b·cos－1，
即a＝b－1.②
由①②解得a＝b＝1，
∴f(x)＝sin，
g(x)＝cos.
双基限时练(九)
1．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数( )
A. B.
C. D.
解析 ∵y＝cos2x，
∴2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，
即kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴(k∈Z)为y＝cos2x的单调递减区间．
而显然是上述区间中的一个．
答案 C
2．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A. B.
C. D.
解析 由0≤x≤，得≤x＋≤，
∴－≤cos≤，选B.
答案 B
3．设M和m分别表示函数y＝cosx－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析 依题意得M＝－1＝－，m＝－－1
＝－，∴M＋m＝－2.
答案 D
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin11°＜cos10°＜sin168°
B．sin168°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin168°＜cos10°
D．sin168°＜cos10°＜sin11°
解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°.
sin80°＞sin12°＞sin11°，
即cos10°＞sin168°＞sin11°.
答案 C
5．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A. B.
C. 2 D. 3
解析 由题意知函数f(x)在x＝处取得最大值，
∴＝2kπ＋，ω＝6k＋，k∈Z.故选B.
答案 B
6．若a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数y＝sin2x＋2asinx的最大值为( )
A．2a＋1 B．2a－1
C．－2a－1 D．a2
解析 令sinx＝t，则－1≤t≤1，原函数变形为y＝t2＋2at＝(t＋a)2－a2.∵a>1，∴当t＝1时，ymax＝12＋2a×1＝2a＋1，故选A.
答案 A
7．函数y＝sin2x，x∈R的最大值是________，此时x的取值集合是________．
解析 ∵x∈R，∴y＝sin2x的最大值为1，此时2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)．
答案 1
8．函数y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为__________．
解析 由y＝－sin的单调性，得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，
即＋2kπ≤x≤＋2kπ.
又x∈[0，π]，故≤x≤π.
即递增区间为.
答案
9．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝________.
解析 由2sinωx≤，知sinωx≤，又0<ω<1,0≤x≤，∴0≤ωx≤，∴0≤x≤，令＝，得ω＝.
答案
10．函数y＝2sin2x＋2cosx－3的最大值是________．
解析 y＝2sin2x＋2cosx－3＝－2cos2x＋2cosx－1＝
－22－≤－.
答案 －
11．已知ω＞0，函数f(x)＝2sinωx在上递增，求ω的范围．
解 由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ知，≤x≤.
令k＝0知－≤x≤，
故 ?0＜ω≤.
∴ω的取值范围是.
12．已知函数f(x)＝2sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值．
解 (1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)当sin＝1时，f(x)有最大值2.
此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)．
13．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，值域为[－5,1]，求a和b的值．
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1.
当a>0时，则
∴
当a<0时，则
∴
