1.4.3 正切函数的性质与图象
课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
函数y＝tan x的性质与图象见下表：
y＝tan x
图象
定义域
__________________________
值域
______
周期
最小正周期为______
奇偶性
__________
单调性
在开区间______________________内递增
一、选择题
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z}
D．{x|x≠π，k∈Z}
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
4．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|tan x|
C．y＝|sin 2x| D．y＝cos 2x
5．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°>tan 800° B．tan 1>－tan 2
C．tan
6．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝的定义域是____________．
8．函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝____.
9．已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c按从小到大的排列是________________．
10．函数y＝3tan的对称中心的坐标是_________________________________．
三、解答题
11．判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．
12．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
能力提升
13．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
14．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
1．正切函数y＝tan x在每段区间 (k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间 (k∈Z)．正切函数无单调减区间．
2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0) (k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋ (k∈Z)为渐近线．
1．4.3 正切函数的性质与图象
答案
知识梳理
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇函数 (k∈Z)
作业设计
1．C 2.C 3.A 4.B 5.D
6．A [由题意，T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.]
7．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.
8．±2
解析 T＝＝，∴ω＝±2.
9．b解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2∴b10. (k∈Z)
解析 由x＋＝ (k∈Z)，
得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
11．解 由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
12．解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
13．D [当当x＝π时，y＝0；当πtan x>sin x，y＝2sin x．故选D.]
14．B [∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.]
课件23张PPT。1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R 观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较与的大小
解：，，内单调递增，
例2：求下列函数的周期：
（1） 答：。 （2） 答：。
说明：函数的周期．
例3：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
解：1、由得，所求定义域为
2、值域为R，周期，
3、在区间上是增函数。
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数），
练习1：求函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
略解：定义域：
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在上是增函数
练习2：教材P45面2、3、4、5、6题
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈ R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
思考2：你能用图象求函数的定义域吗？
解：由 得 ，利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
五、作业《习案》作业十一。
课件37张PPT。1.4.3 正切函数
的性质与图象复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？ 练习：画出下列各角的正切线： 复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？ 练习：画出下列各角的正切线： 复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？ 练习：画出下列各角的正切线： 复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？ 练习：画出下列各角的正切线： 复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？ 练习：画出下列各角的正切线： 讲授新课1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？思考：讲授新课1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？2. 正切函数是不是周期函数？思考：讲授新课1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？2. 正切函数是不是周期函数？3. 正切函数是奇函数还是偶函数？思考：讲授新课1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？2. 正切函数是不是周期函数？3. 正切函数是奇函数还是偶函数？4. 正切函数的单调性怎样？思考：讲授新课1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？2. 正切函数是不是周期函数？3. 正切函数是奇函数还是偶函数？4. 正切函数的单调性怎样？5. 正切函数的值域是什么？思考：讲授新课总结: 正切函数的性质定义域值域周期奇偶性单调性讲授新课定义域值域周期奇偶性单调性总结: 正切函数的性质讲授新课定义域值域R周期奇偶性单调性总结: 正切函数的性质讲授新课定义域值域R周期奇偶性单调性总结: 正切函数的性质讲授新课定义域值域R周期奇偶性单调性总结: 正切函数的性质讲授新课定义域值域R周期奇偶性单调性总结: 正切函数的性质讲授新课知识探究（一）：正切函数的图象讲授新课(1)正切函数的最小正周期不能比?小，
正切函数的最小正周期是? ；
说明:讲授新课(1)正切函数的最小正周期不能比?小，
正切函数的最小正周期是? ；
(2)根据正切函数的周期性，把上述图
象向左、右扩展，得到正切函数的图象，称“正切曲线”.说明:讲授新课Oxy讲授新课Oxy讲授新课Oxy讲授新课Oxy(3)正切曲线是由被相互平行的直线所隔
开的无穷多支曲线组成的.讲授新课定义域值域R周期奇偶性单调性总结: 正切函数的性质讲授新课 例1. 讲授新课例2. 求下列函数的周期：讲授新课例3. 求函数值域，指出它的周期性、单调性. 的定义域、讲授新课例3. 求函数值域，指出它的周期性、单调性. 的定义域、思考：你能判断它的奇偶性吗？ 讲授新课例3. 求函数值域，指出它的周期性、单调性. 的定义域、思考：你能判断它的奇偶性吗？ 非奇非偶函数讲授新课练习1. 讲授新课练习1. 练习2.教材P.45第2、3、4、5、6题.讲授新课思考：你能用图象求函数 的定义域吗? 例 若 ，求x 的取值范围.课堂小结 正切函数的图象；
正切函数的性质.课后作业 阅读教材P.42-P.45；
《习案》作业十一. 课件14张PPT。——函数y=Asin(?x+?)的图象 习 题 课复习回顾习题讲评习题讲评习题讲评习题讲评习题讲评习题讲评习题讲评2. 《学案》P.140第5题.习题讲评习题讲评习题讲评习题讲评课后作业 阅读教材P.34-P.40；
《习案》作业十三；
《学案》P.34双基训练. 课件22张PPT。——正弦函数、余弦函数的性质习 题 课1. 周期性练习1.求下列函数的周期：2. 奇偶性及对称性正弦函数图象的对称中心是
对称轴为练习2.；余弦函数图象的对称中心是
对称轴为；，，2. 奇偶性及对称性练习2.正弦函数图象的对称中心是
对称轴为；余弦函数图象的对称中心是
对称轴为；，，2. 奇偶性及对称性练习2.正弦函数图象的对称中心是
对称轴为；余弦函数图象的对称中心是
对称轴为；，，2. 奇偶性及对称性练习2.正弦函数图象的对称中心是
对称轴为；余弦函数图象的对称中心是
对称轴为；，，2. 奇偶性及对称性练习2.正弦函数图象的对称中心是
对称轴为；余弦函数图象的对称中心是
对称轴为；，，3. 单调性练习3.教材P.40练习第3题；3. 单调性练习4.
y＝2sinx的单调递增区间为练习3.教材P.40练习第3题；y＝2cosx的单调递减区间为；.3. 单调性练习4.
y＝2sinx的单调递增区间为练习3.教材P.40练习第3题；y＝2cosx的单调递减区间为；.3. 单调性练习4.
y＝2sinx的单调递增区间为练习3.教材P.40练习第3题；y＝2cosx的单调递减区间为；.4. 最大值与最小值练习5.4. 最大值与最小值练习5.4. 最大值与最小值练习5.4. 最大值与最小值练习5.4. 最大值与最小值练习5.例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果
有，请写出取最大值、最小值时的自变
量x的集合，并说出最大值、最小值分别
是什么.5. 举例应用例2.不通过求值，指出下列各式大于
0还是小于0.5. 举例应用例3.5. 举例应用思考.5. 举例应用课堂小结 正弦函数、余弦函数的周期性；
正弦函数、余弦函数的奇偶性；
正弦函数、余弦函数的单调性；
正弦函数、余弦函数的最值.课后作业 阅读教材P.34-P.40；
教材P.41练习第5、6题；
《习案》作业十. 1.4.3《正切函数的图像与性质》导学案
【学习目标】：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
【重点难点】正切函数的图象及其主要性质。
【学法指导】
利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质
【知识链接】
1.画出下列各角的正切线：
2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数图象：
3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”
4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：
定义域： 值域：
最值： 渐近线：
周期性： 奇偶性
单调性： 图像特征：
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
例1.讨论函数的性质
变式训练1. 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期
例2.求函数y＝的定义域
变式训练2. y＝
例3. 比较tan与tan的大小
变式训练3. tan与tan (－)
【学习反思】
1、数学知识：
2、数学思想方法：
【基础达标】
一、选择题
1. 函数的周期是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.函数的定义域为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.
5.给出下列命题:
（1）函数y=sin|x|不是周期函数; (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是π/2;
(3)函数y=tanx在定义域内是增函数; (4)函数y=sin(5π/2+x)是偶函数;
(5)函数y=tan(2x+π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)
其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)
三、解答题
6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域
[来源:学科网]
[来源:学|科|网]
【拓展提升】
一、选择题
1、在定义域上的单调性为（ ）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个开区间上为增函数
2、下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．大小关系不确定
3、若,则（ ）.
A． B．
C． D．
二、填空题
4、函数的定义域为 .
5、函数的定义域为 .
三、解答题[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:学+科+网Z+X+X+K]
6、 函数的定义域是（ ）.
双基限时练(十)
1．当x∈时，函数y＝tan|x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．没有对称轴
答案 B
2．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由2x－≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z.
答案 A
3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为.则ω的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 由题意可得f(x)的周期为，则＝，∴ω＝4.
答案 C
4．y＝cos＋tan(π＋x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 y＝cos＋tan(π＋x)＝sinx＋tanx.
∵y＝sinx，y＝tanx均为奇函数，∴原函数为奇函数．
答案 A
5．设a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝cos25°，则有( )
A．aC．c解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝logtan70°<0.
又0log＝1，而c＝cos25°∈(0,1)，∴b>c>a.
答案 D
6．下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
a
b
c
d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
解析 y＝tan(－x)＝－tanx在上是减函数，只有图象d符合，即d对应③.
答案 D
7．函数f(x)＝tan的最小正周期为2π，则f＝________.
解析 由已知＝2π，∴ω＝，∴f(x)＝tan，
∴f＝tan＝tan＝1.
答案 1
8．函数y＝tanx的值域是________．
解析 ∵y＝tanx在，上都是增函数，
∴y≥tan＝1或y≤tan＝－1.
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
9．满足tan≥－的x的集合是________．
解析 把x＋看作一个整体，利用正切函数图象可得kπ－≤x＋故满足tan≥－的x的集合是
答案
10．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.
解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于π－π＝π＝π，即周期为π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点，所以0＝Atan，即π＋φ＝kπ(k∈Z)，所以，φ＝kπ－π(k∈Z)，又|φ|<π，所以，φ＝π.再由图象过定点(0,1)，所以，A＝1.综上可知，f(x)＝tan.故有f＝tan＝tanπ＝.
答案
11．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1解 ∵1∵k∈N*，∴k＝3，则f(x)＝2tan，
由3x－≠＋kπ得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝2tan是非奇非偶函数．由－＋kπ<3x－<＋kπ得－＋∴f(x)＝2tan的单调增区间为
，k∈Z.
12．函数f(x)＝tan(3x＋φ)图象的一个对称中心是，其中0<φ<，试求函数f(x)的单调区间．
解 由于函数y＝tanx的对称中心为，
其中k∈Z.
故令3x＋φ＝，其中x＝，即φ＝－.
由于0<φ<，
所以当k＝2时，φ＝.
故函数解析式为f(x)＝tan.
由于正切函数y＝tanx在区间(k∈Z)上为增函数．
则令kπ－<3x＋解得－故函数的单调增区间为，k∈Z.
13．求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈的最值及相应的x的值．
解 y＝－tan2x＋10tanx－1＝－(tanx－5)2＋24.
∵≤x≤，∴1≤tanx≤.
∴当tanx＝时，y有最大值10－4，此时x＝.
当tanx＝1时，y有最小值8，此时x＝.
