§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
课时目标 1.了解φ、ω、A对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.2.掌握y＝sin x与f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当0
4．函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
y＝sin x的图象__________的图象______________的图象______________的图象．
一、选择题
1．要得到y＝sin的图象，只要将y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
4．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x－1
5．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
6．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f(x)＝____________.
8．将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为____________．
9．为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．
10．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
三、解答题
11．怎样由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin的图象，试叙述这一过程．
12．已知函数f(x)＝sin (x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
能力提升
13．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
14．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，则f(x)的表达式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．类似地y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
答案
知识梳理
1．向左 向右 |φ| 2.缩短 伸长 不变
3．伸长 缩短 A倍 [－A，A] A －A
4．y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
作业设计
1．B 2.C 3.D
4．B [将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x＋)，即y＝sin(2x＋)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x.]
5．B [y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)．]
6．C [把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝sin的图象．]
7．sin x
8．y＝cos 2x
9.π
解析 y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位后得y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是π.
10．①③
11．解 由y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sin的图象有两种变化途径：
①y＝sin xy＝sin y＝sin
②y＝sin xy＝sin 2x y＝sin.
12．解 (1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos＝cos＝cos2.
∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．
13．A [y＝sin 2x＝cos＝cos＝cos＝cos
y＝cos[2(x－＋)－]＝cos(2x－)．]
14．D [方法一 正向变换
y＝f(x)y＝f(2x)y＝f，即y＝f，
所以f＝sin 2x.令2x＋＝t，则2x＝t－，∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二 逆向变换
据题意，y＝sin 2xy＝sin2＝sin
y＝sin.]
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
课时目标 1.会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．
1．简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中，______叫做振幅，周期T＝______，频率f＝______，相位是______，初相是______．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：
定义域
R
值域
__________
周期性
T＝____________
奇偶性
φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是__________函数
单调性
单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是( )
A．φ＝＋2kπ (k∈Z) B．φ＝＋kπ (k∈Z)
C．φ＝2kπ (k∈Z) D．φ＝kπ(k∈Z)
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
3．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
5．函数y＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
6．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
9．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
10．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
三、解答题
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
能力提升
13．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
14．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
答案
知识梳理
1．A ωx＋φ φ
2．[－A，A] kπ (k∈Z) ＋kπ (k∈Z) 非奇非偶 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z) 2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)
作业设计
1．B
2．A [T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.∵－<φ<，∴φ＝.]
3．D [由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1.]
4．D [由图象知＝－＝，∴T＝π，ω＝2.且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－.]
5．C [由，解得.]
6．B [对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.
∴|x1－x2|min＝＝×＝2.]
7．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
8.
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝π时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
9.
解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，
∴φ＝π或作出y＝sin 2x的图象观察易知φ＝－＝π.
10．②③
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)．
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，
∴x＝π－，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，
∴x＝＋.∴④错．
11．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
12．解 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于M对称可知，sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上单调函数，所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
13．A [由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2.
∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sin x先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，
纵坐标不变，可得原函数的图象．]
14．D [方法一 ∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f＝f(0)
∴sin＋acos＝sin 0＋acos 0.∴a＝－1.
方法二 由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a.]
课件53张PPT。主讲老师：陈震1.5函数y=Asin(?x+?)
的图象 复习回顾正切函数的性质定义域值域周期奇偶性单调性定义域值域周期奇偶性单调性复习回顾正切函数的性质定义域值域R周期奇偶性单调性复习回顾正切函数的性质定义域值域R周期奇偶性单调性复习回顾正切函数的性质定义域值域R周期奇偶性单调性复习回顾正切函数的性质定义域值域R周期奇偶性单调性复习回顾正切函数的性质练习1. 求函数值域，指出它的周期性、单调性. 的定义域、复习回顾值域，指出它的周期性、单调性. 的定义域、思考：你能判断它的奇偶性吗？ 练习1. 求函数复习回顾值域，指出它的周期性、单调性. 的定义域、思考：你能判断它的奇偶性吗？ 非奇非偶函数练习1. 求函数复习回顾练习2. 复习回顾思考：你能用图象求函数 的定义域吗?复习回顾讲授新课1. “五点法”作函数y=sinx简图的步骤，
其中“五点”是指什么？2. f(x＋k)的图象与f(x)的图象有什么样
的关系？讲授新课1. “五点法”作函数y=sinx简图的步骤，
其中“五点”是指什么？2. f(x＋k)的图象与f(x)的图象有什么样
的关系？讲授新课1. 函数y＝sin(x±?)(?＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 讲授新课1. 函数y＝sin(x±?)(?＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 函数y＝sin(x±?)(?>0)的图象可由
函数y＝sinx的图像向左(或右)平移?个
单位而得到，
讲授新课1. 函数y＝sin(x±?)(?＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 函数y＝sin(x±?)(?>0)的图象可由
函数y＝sinx的图像向左(或右)平移?个
单位而得到，这种变换实际上是纵坐标
不变，横坐标增加(或减少)?个单位，
这种变换称为平移变换.讲授新课2. 函数y＝sin(?x)(?＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 讲授新课2. 函数y＝sin(?x)(?＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 函数y＝sin(?x)(?＞0)的图象可由
函数y＝sinx的图象沿x轴伸长(?＜1)或
缩短(?>1)到原来的 倍而得到，称为
周期变换.讲授新课2. 函数y＝sin(?x)(?＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 这种变化的实质是纵坐标不变，
横坐标伸长(0＜?＜1)或缩短(?＞1)
到原来的 倍.讲授新课3. 函数y＝Asinx(A＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？思考 讲授新课思考 函数y＝Asinx(A＞0)的图象可由函
数y＝sinx的图象沿y轴伸长(A＞1)或缩
短(A＜1)到原来的A倍而得到的，称为
振幅变换.3. 函数y＝Asinx(A＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？讲授新课思考 这种变换的实质是：横坐标不变，
纵坐标伸长(A＞1)或缩小(0＜A＜1)到
原来的A倍.3. 函数y＝Asinx(A＞0)的图象和函数
y＝sinx图象的关系是什么？讲授新课 我们学习了三种函数y＝sin(x±?)，
y＝sin(?x)，y＝Asinx的图象和函数
y＝sinx图象的关系，那么y＝Asin(?x+?)
(A＞0，?＞0)的图象和函数y＝sinx的图
象有何关系呢？思考 讲授新课例.讲授新课列表例.讲授新课列表例.讲授新课列表例.讲授新课列表例.讲授新课-33-11oxy作图1：例.讲授新课-33-11oxy作图1：例.讲授新课-33-11oxy作图1：例.讲授新课-33-11oxy作图1：例.讲授新课-33-11oxy作图1：例.讲授新课-33-11oxy作图1：例.讲授新课 函数y＝Asin(?x+?)(A＞0，?＞0)
的图象可以看作是先把y＝sinx的图象
上所有的点向左(?＞0)或向右(?＜0)平
移|?|个单位，再把所得各点的横坐标
缩短(?＞1)或伸长(0＜?＜1)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到
原来的A倍，(横坐标不变).
即：平移变换→周期变换→振幅变换.讲授新课 上面我们学习了函数y＝Asin(?x+?)
的图象可由y＝sinx图象
平移变换→周期变换→振幅变换
的顺序而得到，若按下列顺序可以得到
y＝Asin(?x+?)的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换
⑵振幅变换→平移变换→周期变换
⑶平移变换→振幅变换→周期变换 讲授新课-33-11oxy作图2：例.讲授新课-33-11oxy作图2：例.讲授新课-33-11oxy作图2：例.讲授新课-33-11oxy作图2：例.讲授新课-33-11oxy作图2：例.讲授新课-33-11oxy作图2：例.讲授新课练习1. 作下列函数在一个周期的闭区间
上的简图，并指出它的图象是如何由函
数y＝sinx的图象而得到的.讲授新课练习1. 作下列函数在一个周期的闭区间
上的简图，并指出它的图象是如何由函
数y＝sinx的图象而得到的.练习2. 教材P.55练习第2题.讲授新课⑴函数y=sin2x图象向右平移 个单位所
得图象的函数表达式为练习3. 完成下列填空⑵函数y=3cos(x+ )图象向左平移 个单
位所得图象的函数表达式为 讲授新课⑴函数y=sin2x图象向右平移 个单位所
得图象的函数表达式为练习3. 完成下列填空⑵函数y=3cos(x+ )图象向左平移 个单
位所得图象的函数表达式为 讲授新课⑴函数y=sin2x图象向右平移 个单位所
得图象的函数表达式为练习3. 完成下列填空⑵函数y=3cos(x+ )图象向左平移 个单
位所得图象的函数表达式为 讲授新课⑶函数y=2loga2x图象向左平移3个单位所
得图象的函数表达式练习3. 完成下列填空⑷函数y=2tan(2x+ )图象向右平移3个
单位所得图象的函数表达式为讲授新课⑶函数y=2loga2x图象向左平移3个单位所
得图象的函数表达式练习3. 完成下列填空⑷函数y=2tan(2x+ )图象向右平移3个
单位所得图象的函数表达式为讲授新课⑶函数y=2loga2x图象向左平移3个单位所
得图象的函数表达式练习3. 完成下列填空⑷函数y=2tan(2x+ )图象向右平移3个
单位所得图象的函数表达式为课堂小结 本节课我们进一步探讨了三角函数
各种变换的实质和函数y＝Asin(?x+?)
(A＞0，?＞0)的图象的画法.并通过改变
各种变换的顺序而发现：平移变换应在
周期变换之前，否则得到的函数图象不
是函数y＝Asin(?x+?)的图象由y＝sinx
图象的得到.课后作业 阅读教材P.49-P.55；
《习案》作业十二. 课件22张PPT。1.5函数y=Asin(?x+?)
的图象 复习回顾复习回顾讲授新课讲授新课函数表示一个振动量时：讲授新课A：函数表示一个振动量时：讲授新课A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.函数表示一个振动量时：讲授新课A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.函数表示一个振动量时：T：讲授新课A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.函数表示一个振动量时：T：讲授新课函数表示一个振动量时：f ：讲授新课函数表示一个振动量时：f ：讲授新课函数表示一个振动量时：f ：讲授新课函数表示一个振动量时：f ：称为“相位” .讲授新课函数表示一个振动量时：f ：称为“相位” .讲授新课函数表示一个振动量时：f ：称为“相位” .x=0时的相位，称为“初相”.讲授新课例1. 下图是某简谐运动的图象.试根据图
象回答下列问题:
这个简谐运动的振幅、周期与频率各
是多少？
(2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示
完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.讲授新课例2.讲授新课例3.讲授新课思考.讲授新课例4.课堂小结(2) 代点法.(1) 平移法；A由图象的振幅决定；
?由图象的周期决定；
求?常用的两种方法：课后作业 阅读教材P.49-P.55；
阅读教材P.56练习第3、4题；
《习案》作业十三. 课件31张PPT。1.5函数y=Asin(wx+()(A>0，w>0的图象
教学目标：
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点：
函数y = Asin(wx+()的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系。
教学难点：各种变换内在联系的揭示。
教学过程：
复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
2．的图象与的图象有什么样的关系？
二、新课讲授
1. 函数y = sin(x(k)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x (k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右)平移k个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k个单位，这种变换称为平移变换。
2. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的倍而得到，称为周期变换。
这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到原来的倍。
3. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx的图像可由函数y = sinx的图像沿y轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A倍而得到的，称为振幅变换。
这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )或缩小(0 思考：上面我们学习了三种函数y = sin(x (k)，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数y = sinx图像的关系，那么y = Asin(wx+()(A>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图像有何关系呢？
4. 函数y = Asin(wx+()的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+()的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+()的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin(，x==，分别取z = 0，，(，，2(，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+
0
(
2(
sin(2x+)
0
1
0
(1
0
3 sin(2x+)
0
3
0
(3
0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
归纳： 函数y=Asin(wx+()(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+()图像的。
归纳：先把函数y = sinx图像上所有点向左平行移动个单位，得到y = sin(x +)的图像，-----再把y = sin(x +)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y = sin(2x +)的图像，-----再把y = sin(2x +)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +)图像。
三、思考探究：
上面我们学习了函数y = Asin(wx+()的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+()的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换
⑵振幅变换→平移变换→周期变换
⑶平移变换→振幅变换→周期变换
归纳2：函数y = Asin(wx+()，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左((>0)或向右((＜0)平移|(|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(01)或缩短(0 四、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx的图像而得到的。
⑴y = 5sin(x+)；⑵y =sin(3x)
2．教材P55面练习2题
3. 完成下列填空
⑴函数y = sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为
⑵函数y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为
⑶函数y = 2loga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式
⑷函数y = 2tan(2x+)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为
五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+()(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数y =Asin(wx+()的图像由y = sinx图像的得到。
七、布置作业：《习案》作业十二
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）
教学目标
知识与技能目标
（1）了解三种变换的有关概念；
（2）能进行三种变换综合应用；
（3）掌握y=Asin(ωx+φ)+h的图像信息．
过程与能力目标
能运用多种变换综合应用时的图象信息解题．
情感与态度目标
渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点．
教学重点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学难点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学过程
一、复习
1. 如何由y=sinx的图象得到函数
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T：
f ：
称为“相位” .
x=0时的相位，称为“初相”.
三、应用
例1、教材P54面的例2。
解析：由图象可知A=2，
解：由函数图象可知
解1：以点N为第一个零点，则
解2：以点为第一个零点，则
解析式为将点M的坐标代入得
解由已知解得
又
又为“五点法”作图得第二个点，则有
所求函数的解析式为
四、课堂小结：
五、课后作业
1.阅读教材第53～55页；
2.教材第56页第3、4题．
作业：《习案》作业十三。
1.5《函数的图象》导学案
【学习目标】
1.会用 “五点法”作出函数以及函数的图象的图象。
2.能说出对函数的图象的影响.
3.能够将的图象变换到的图象，并会根据条件求解析式.
【重点难点】
重点：由正弦曲线变换得到函数的图象。
难点：当时，函数与函数的关系。
【学法指导】
预习图像变换的过程，初步了解图像的平移。
【知识链接】
1.函数，（其中）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当>0时）或______________（当<0时）平行移动个单位长度而得到.
2.函数（其中>0且）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当>1时）或______________（当0<<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.
3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当04. 函数其中的（A>0,>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当>0时）或___________（当<0时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当>1时）或____________（当0<<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当
0[来源:学科网ZXXK]
【学习过程】
1、复习巩固；
作业评讲——作出函数在一个周期内的简图并回顾作图方法？
2、自主探究；
问题一、函数图象的左右平移变换
如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图象之间的关系。
问题二、函数图象的纵向伸缩变换[来源:Zxxk.Com]
如在同一坐标系中作出及的简图，并指出它们的图象与的关系。
问题三、函数图象的横向伸缩变换
如作函数及的简图，并指出它们与图象间的关系。
问题四、作出函数的图象
问题五、作函数的图象主要有以下两种方法：
（1）用“五点法”作图
（2）由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
[来源:学科网]
（三）规律总结
①由正弦曲线变换到函数的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移个单位，先周期变换后平移变换时平移个单位。
②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与有关）。
【基础达标】
1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？
① ②
2、已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点（ ）
A、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变。 B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
C、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变。 D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变。
3、已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点（ ）
A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变。 B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变。 D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变。
4、已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
5、将正弦曲线上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为（ ）
A、 B、 C、 D、
【拓展提升】
一、选择题
1、已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（ ）.
A. B.
C. D.
2、把函数的图象向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为（ ）.
A. B.
C. D.
3、函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到（ ）.
A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍
C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的
D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的
4、函数的周期是_________，振幅是__________，当x=____________________时，__________；当x=____________________时，__________.
5、已知函数（A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为____________________.
6、已知函数(A>O, >0,<)的最小正周期是，最小值是-2，且图象经过点（），求这个函数的解析式.
[来源:学。科。网]
双基限时练(十一)
1．把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝sin的图象，则f(x)为( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
解析 用x－代换选项中的x，化简得到y＝sin的就是f(x)，代入选项C，有f(x)＝sin＝sin.
答案 C
2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x＝对称的是( )
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)
解析 当x＝时，
y＝sin＝sin＝sin＝1.
∴函数y＝sin的图象关于x＝对称，且周期T＝＝π.
答案 D
3．要将y＝sin的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析 把y＝sin的图象向左平移个单位即得y＝sin＝sin＝cos2x的图象．因为y＝cos2x为偶函数，所以符合题意．
答案 C
4．函数y＝3sin的相位和初相分别是( )
A．－x＋， B．x－，－
C．x＋， D．x＋，
解析 因为y＝3sin＝3sin
＝3sin，所以相位和初相分别是x＋，.
答案 C
5．如下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )
A．y＝2sin－1
B．y＝2sin－1
C．y＝3sin－1
D．y＝3sin－1
解析 由图象知A＝＝3，b＝－1，
T＝－＝π.
∴ω＝＝2，故可设解析式为y＝3sin(2x＋φ)－1，代入点，得－4＝3sin－1，
即sin＝－1，∴φ＋＝2kπ－(k∈Z)．
令k＝1，解得φ＝，所以y＝3sin－1.
答案 C
6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析 由题意可得，sin
＝sin，则ω＝2kπ，k∈Z，所以ω＝4k，k∈Z，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.
答案 B
7．使函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称的θ为________．
解析 ∵函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，∴3sin(－2x＋5θ)＝3sin(2x＋5θ)，
∴sin(－2x＋5θ)＝sin(2x＋5θ)，∴－2x＋5θ＝2x＋5θ＋2kπ(舍去)或－2x＋5θ＋2x＋5θ＝2kπ＋π(k∈Z)，即10θ＝2kπ＋π，故θ＝＋(k∈Z)．
答案 ＋，k∈Z
8．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝________， φ＝________.
解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f(0)＝且|φ|<得到φ＝.
答案 2
9．函数y＝－sin的图象与x轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．
解析 令－sin＝0.
则4x＋＝kπ，∴x＝－，k∈Z.
故取k＝1时，x＝.
∴离原点最近的一点是.
答案
10．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0) 的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．
解析 把f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度得：y＝sin.
又所得图象过点，
∴sin＝0.
∴sin＝0.
∴＝kπ(k∈Z)．
∴ω＝2k(k∈Z)．
∵ω>0，∴ω的最小值为2.
答案 2
11．设函数f(x)＝3sin，ω＞0，且以为最小正周期．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
解 (1)∵f(x)的最小正周期为，∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin.
(2)由x∈，
得4x＋∈，
sin∈.
∴当sin＝－，
即x＝－时，f(x)有最小值－，
当sin＝1，即x＝时，f(x)有最大值3.
12．设函数f(x)＝sin，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解 (1)∵x＝是y＝f(x)图象的一条对称轴，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0<φ<，∴φ＝.
(2)由(1)知φ＝，
∴f(x)＝sin.
由题意得
2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即4kπ－π≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝f(x)的单调增区间为
(k∈Z)．
13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y＝与函数f(x)图象的所有交点的坐标．
解 由图象得A＝2，
T＝π－＝4π.
则ω＝＝，故y＝2sin.
又×＋φ＝0，∴φ＝.
∴y＝2sin.
由条件知＝2sin，
得x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
或x＋＝2kπ＋π(k∈Z)．
∴x＝4kπ＋(k∈Z)，或x＝4kπ＋π(k∈Z)．
则所有交点的坐标为
或(k∈Z)．
