§1.6 三角函数模型的简单应用
课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝________________，k＝________________________________.
(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
一、选择题
1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A. s B. s C．50 s D．100 s
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
4. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
三、解答题
9. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
§1.6 三角函数模型的简单应用
答案
知识梳理
1.
2．(1)A＋k －A＋k (2) (3)ω＝ (4)0 π π 2π
3．周期
作业设计
1．A 2.A
3．D [因为f＝f，所以直线x＝是函数f(x)图象的对称轴．所以f＝3sin＝3sin＝±3.因此选D.]
4．C [d＝f(l)＝2sin .]
5．A [在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]
6．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π7．80
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
8.
解析 T＝＝1.∴ ＝2π.∴l＝.
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．C [∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|.
当t＝0时，d＝，排除A、D；
当t＝时，d＝0，排除B.]
12．10sin
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin .
课件25张PPT。1.6 三角函数模型
的简单应用讲授新课例1. 如图，某地一天从6~14时的温度变化
曲线近似满足函数 y＝Asin(?x＋?)＋b求这一天6~14时
的最大温差；
(2) 写出这段曲线
的函数解析式.讲授新课例1. 如图，某地一天从6~14时的温度变化
曲线近似满足函数 y＝Asin(?x＋?)＋b求这一天6~14时
的最大温差；
(2) 写出这段曲线
的函数解析式.一、根据图象建立函数解析式讲授新课一、根据图象建立函数解析式 小结：利用函数的模型(函数的
图象)解决问题，根据图象建立函数
解析式.例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其
周期.讲授新课例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其
周期.二、根据解析式模型建立图象模型讲授新课讲授新课例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其
周期.二、根据解析式模型建立图象模型讲授新课 小结：利用函数解析式模型建立
函数图象模型，并根据图象认识性质.二、根据解析式模型建立图象模型例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其
周期.讲授新课练习. 教材P.65练习第1题.讲授新课例3. 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为?，?为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是? ＝90o－|? －? |.当地夏半年?取正值，冬半年?取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40o)的一
幢高为h0的楼房北面盖一
新楼，要使新楼一层正午
的太阳全年不被前
面的楼房遮挡，两
楼的距离不应小于
多少？讲授新课例3. 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为?，?为
此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个
量之间的关系是? ＝90o－|? －? |.当地夏半年?取正值，
冬半年?取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40o)的一幢高为
h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全
年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？|?-|?太阳光? －??讲授新课例4. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深
的关系表：选用一个函数来近似描述这个港口的水深
与时间的函数关系，并给出整点时的水深的
近似数值(精确到0.001).讲授新课问题1：观察上表的数据，你发现了
什么规律？讲授新课问题1：观察上表的数据，你发现了
什么规律？问题2：根据数据作出散点图. 观察图形，
你认为可以用怎样的函数模型刻
画其中的规律？讲授新课问题1：观察上表的数据，你发现了
什么规律？问题3：能根据函数模型求整点时的水深
吗？问题2：根据数据作出散点图. 观察图形，
你认为可以用怎样的函数模型刻
画其中的规律？讲授新课例4. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深
的关系表：(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为
4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙
(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？
在港口能呆多久？讲授新课例4. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深
的关系表：(3) 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，
该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米
的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸
货，将船驶向较深的水域？讲授新课 小结：你能概括出建立三角函数模型
解决实际问题的基本步骤吗？讲授新课练习. 教材P.65练习第3题.课堂小结1. 三角函数模型应用基本步骤:
课堂小结1. 三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
课堂小结1. 三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
课堂小结1. 三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关
的简单函数模型.
课堂小结1. 三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关
的简单函数模型.
2. 利用收集到的数据作出散点图，并
根据散点图进行函数拟合，从而得到
函数模型.课后作业 阅读教材P.60-P.64；
《习案》作业十四及十五. 课件7张PPT。作业讲评 不画图，直接写出下列函数的振幅、
周期与初相，并说明这些函数的图象可
由正弦曲线经过怎样的变化得到(注意
定义域):《习案》P.144第1题《习案》P.145第3题《习案》P.146第4题《习案》P.147第5题《习案》P.148第3题课后作业2. 《学案》P.34双基训练. 1. 教材P.58习题1.5B组第1题. 课件23张PPT。1.6三角函数模型的简单应用
教学目的
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题
3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）；（2）.
4、略（学生看书）
二、应用举例：
例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin((x＋()＋b
(1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.
本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.
练习：教材P65面1题
例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为(，(为此时太阳直射纬度，(为该地的纬度值，那
么这三个量之间的关系是( ＝90o－|( －( |.当地夏半年(取正值，冬半年(取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40o)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午
的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通
常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节
每天的时间与水深的关系表：
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0:00
5.0
9:00
2.5
18:00
5.0
3:00
7.5
12:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值
(精确到0.001).
一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船
底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3
米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
练习：教材P65面3题
三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
四、作业《习案》作业十四及十五。
补充例题：
一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
P点第一次达到最高点约要多长时间?
1.6《三角函数模型的简单应用》导学案
【学习目标】
1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.
【重点难点】
重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型
【学法指导】
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用
【知识链接】
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.
2、是以____________为周期的波浪型曲线.
【学习过程】
自主探究；
问题一、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式
[来源:学科网ZXXK]
问题二、画出函数的图象并观察其周期．
问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
[来源:Zxxk.Com]
[来源:学科网ZXXK]
【基础达标】
1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
【拓展提升】
1、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1[来源:学,科,网Z,X,X,K]
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据，函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2、从高出海面hm的小岛A处看正东方向有一只船B，俯角为看正南方向的一船C的俯角为，则此时两船间的距离为（ ）.
A． B． C． D．[来源:学科网ZXXK]
3、如图表示电流 I 与时间t的函数关系式： I =在同一周期内的图象。
（1）根据图象写出I =的解析式；
（2）为了使I =中t在任意－段秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？
答案：1、周期 2、
问题二、
问题三、解：A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼
顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有：
∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′
MC＝＝2h0
即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。
【基础达标】：由条件可得：出厂价格函数为,
销售价格函数为
则利润函数为:
所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大.
【拓展提升】
1、A
2、A
3、解：（1）由图知A＝300，，
由得
（2）问题等价于，即
，∴正整数的最小值为314。
双基限时练(十二)
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析 由T＝＝＝，又f＝＝＝80，故每分钟心跳次数为80，选C.
答案 C
2．如下图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析 依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1.故选D.
答案 D
3．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
解析 y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数，在[0，π]上是增函数，故选C.
答案 C
4．如图，表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
解析 分析图象可知，A＝300，T＝2×＝，
∴ω＝＝100π.又当t＝时，I＝0.故选C.
答案 C
5．如图为一半径为3 cm的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析 ∵T＝15，故ω＝＝，显然ymax－ymin的值等于圆O的直径长，即ymax－ymin＝6，故A＝＝＝3.
答案 A
6．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析 由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝＝，又当t＝0时，A，
∴y＝sin，t∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
答案 D
7．在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流强度I是时间t的正弦函数，关系式为I＝3sin，则它的最大电流和周期分别为________．
答案 3,4π
8．如图是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是__________．
8．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
解析 将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，
∴ω＝＝，下面确定φ.
将(6,0)看成函数图象的第一特殊点，
则×6＋φ＝0.
∴φ＝－π.
∴函数关系式为：y＝6sin＝－6sinx.
答案 y＝－6sinx
9．一树干被台风吹断，折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________米．
解析 如图所示，在Rt△ABC中，AC＝20米，∠B＝60°，
∴sinB＝，∴BC＝＝＝.
又AB＝BC＝，
∴树干高为AB＋BC＝20.
答案 20
10.
如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________min.
解析 40sin＋50>70，即cost<－，从而<<，4答案 4
11．心脏在跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mm Hg为标准值．设某人的血压满足函数关系式P(t)＝115＋25 sin(160πt)，其中P(t)为血压(mm Hg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较．(健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mm Hg和60～90 mm Hg)
解 (1)根据公式T＝，可得T＝＝.
(2)根据公式f＝，可得f＝80，即此人的心率是80次/分钟．
(3)函数P(t)＝115＋25 sin(160πt)的最大值是115＋25＝140，最小值是115－25＝90，即此人的血压为140/90 mm Hg，与标准值相比较偏高一点．
12．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)，赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解 依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx，x∈[0,4]．
∴当x＝4时，y＝2sin＝3.
∴M(4,3)．
又P(8,0)，
∴MP＝
＝
＝5(km)．
即M、P两点间的距离为5 km.
13．下表是某地某年月平均气温(单位：?).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是______．
①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin.
解析 (1)(2)如图所示：
(3)1月份的气温最低，为21.4?，7月份气温最高，为73.0?，据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝>1≠cos，∴①错误；代入②，得＝<0≠cos，∴②错误；同理④错误．∴本题应选③.
答案 (1)～(4)见解析 (5)③
