高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.1.2指数函数及其性质（第2课时）指数函数性质的应用（41张）

课件41张PPT。第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1　指数函数2.1.2　指数函数及其性质第二课时　指数函数性质的应用自主预习学案宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？1．比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
2．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．[解析]　∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，∴0.90.3>0.90.5.D　
2．若2x＋1＜1，则x的取值范围是 (　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
[解析]　不等式2x＋1＜＝20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.D　C　4．已知指数函数f(x)＝ax，且f(3)>f(2)，则a的取值范围是_________.
[解析]　∵f(3)＞f(2)，∴f(x)为增函数，∴a＞1.a＞1　m∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，
又2.2<3，
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，
∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.『规律方法』　比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．
[解析]　(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.命题方向2　?指数型函数的奇偶性典例 2[思路分析]　利用函数奇偶性的定义判断．『规律方法』　判断指数型函数的奇偶性首先判断其定义域是否关于原点对称；其次，在定义域关于原点对称的基础上，判断f(－x)＝±f(x)之一是否成立；最后，得结论．C　命题方向3　?指数型函数的单调性典例 3[思路分析]　此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．『规律方法』　(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．
〔跟踪练习3〕
求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．
[解析]　函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，
∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．换元时忽视中间变量的范围致误[错因分析]　换元时，要利用指数函数的性质确定t的取值范围，错解中忽略了这一点．典例 4 [警示]　用换元法解题时，换之后一定要注意考虑“新元”的取值范围，将原变量的取值范围等价转化为“新元”的取值范围．
〔跟踪练习4〕
求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．
[解析]　设3x＝t，则t>0
则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.
∵上式中当t＝0时y＝－2，
又∵t＝3x＞0，
∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．数形结合思想的应用——图形变换技巧1．平移变换
当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．
2．对称(翻折)变换
y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．
　　　　　画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.
[分析]　用描点法作出图象，然后根据图象判断．
[解析]　如图所示．
(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的；
(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的；
(3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称；
典例 5(4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；
(5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的；
(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．　B　
2．(2017·全国卷Ⅰ理，1)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则 (　　)
A．A∩B＝{x|x<0}　 B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?
[解析]　由3x<1，得x<0，∴B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}．
∴A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，故选A．
A　3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>aB　12　
5．已知5x＋3<51－x，试求x的取值范围．
[解析]　设f(x)＝5x，则f(x)在R上是增函数，
由题意得f(x＋3)解得x<－1，即x的取值范围是(－∞，－1)．