高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.2.2对数函数及其性质（第2课时）对数函数性质的应用（47张）

课件47张PPT。第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2　对数函数2.2.2　对数函数及其性质第二课时　对数函数性质的应用自主预习学案一个驾驶员喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒之后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少．为了保证交通安全，某地交通规则规定：驾驶员血液中的酒精含量应不大于0.08mg/mL，问若喝了少量酒的驾驶员至少过多少时间才能驾驶？1．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为__________.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．增函数　减函数　
2．对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是 (　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，1)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[解析]　由对数函数的单调知识易知0C　
2．(2019·全国卷Ⅰ理，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则 (　　)
A．aC．c[解析]　a＝log20.220＝1，c＝0.20.3<0.20＝1，又0.20.3>0，∴0B　3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是 (　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
[解析]　令x2－2x－3>0，
∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．
故选A．A　
4．(2018·全国卷Ⅰ文，13)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝_______.
[解析]　∵f(x)＝log2(x2＋a)，
∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.－7　互动探究学案命题方向1　?对数函数单调性的应用典例 1 [思路分析]　(1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？
(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？
(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？
[解析]　(1)①因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.
②当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.『规律方法』　1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．〔跟踪练习1〕
(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则 (　　)
A．b＜a＜c　　　　　　　 B．c＜b＜a
C．c＜a＜b　　　　　　　 D．b＜c＜a
(2)若loga(2a－1)＞1(a＞0，且a≠1)．则a的范围是_________________.
[解析]　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.D　命题方向2　?对数型复合函数的单调性　　　　　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[思路分析]　求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．典例 2『规律方法』　1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
A　
[解析]　由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，
∴x<－2或x>5.
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．命题方向3　?对数型复合函数的值域[解析]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．典例 3『规律方法』　1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．〔跟踪练习3〕
函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为 (　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]　∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．A　命题方向4　?对数型复合函数的奇偶性　　　　　(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
[思路分析]　(1)函数奇偶性判断的方法是什么？
(2)对数的运算法则是什么？典例 4『规律方法』　判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．A　忽视对数函数的定义域而致误　　　　　求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间．典例 5
[错因分析]　产生错解的原因在于没有准确理解对数的意义．事实上，应先求出定义域，在定义域内再研究单调区间．
[正解]　由x2－5x＋6>0，得x>3或x<2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，
又u(x)＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，又y＝log2u是增函数，
故函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)．综合应用所学知识分析解决问题的能力典例 6[思路分析]　(1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定．『规律方法』　(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．D　C　3．(2019·贵州遵义市高一期末测试)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a、b、c的大小关系是 (　　)
A．aC．c[解析]　a＝20.3>20＝1，
b＝0.32∈(0,1)，c＝log20.3∴cC　
4．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝_____.
[解析]　当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．3