高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.3幂函数（43张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.3幂函数（43张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 893.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-29 15:20:52 | ||
图片预览
文档简介
课件43张PPT。第二章基本初等函数(Ⅰ)2．3 幂 函 数自主预习学案
大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？(1)一般地形如____________________的函数叫做幂函数．
[知识点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系y＝xα(α为常数) [知识点拨] 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．R 奇 增函数 [0，＋∞) 减函数 奇 增函数 [0，＋∞) 增函数 (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 减函数 都过
(1,1)点 D B
3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4C －1 5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时， f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
[解析] (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.互动探究学案命题方向1 ?幂函数的概念 已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．典例 1 『规律方法』 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．④⑤ 命题方向2 ?幂函数的图象典例 2B [思路分析] 利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断C1，C2，C3，C4的α值的大小．『规律方法』 认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于y＝xα，当α<0时，在第一象限内为双曲线的一支；当0<α<1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向上．B 二、四 命题方向3 ?幂函数的简单性质典例 3[思路分析] (1)当函数解析式中含有分数指数时，怎样求对应函数的定义域？
(2)当函数解析式的幂指数为负数时，怎样求对应函数的定义域？『规律方法』 (1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析．
(2)幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：
①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．[解析] 由已知，得m2－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.
又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；
当m＝－1或m＝3时，y＝x0，符合题意；
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图所示，符合题意，即m＝1或－1或3.用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论典例 5[错因分析] 该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[警示] 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．数学构造方法 在我们解决数学问题的过程中，经常需要依据问题情景构造函数、构造图形等，借助函数的性质，借助图形的直观性等实现对问题的简化、转化，方便求解．典例 5[思路分析] (1)当底数相同，指数不同的幂值比较大小时，我们可以将指数视作变量的两个不同值，将底数视作常数，构造指数函数利用指数函数的单调性求解；
(2)当底数不同，指数相同的幂值比较大小时可构造什么函数解决？
(3)当底数与指数都不同的两个幂值比较大小时，可否构造一个中间量，使其与待比较的幂值结合能够运用上述(1)(2)方法解决？『规律方法』 1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．2．给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．
第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．B
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过 ( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
[解析] ∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，
∴图象不可能经过第四象限，故选A．A C
4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是_____.3
大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？(1)一般地形如____________________的函数叫做幂函数．
[知识点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系y＝xα(α为常数) [知识点拨] 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．R 奇 增函数 [0，＋∞) 减函数 奇 增函数 [0，＋∞) 增函数 (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 减函数 都过
(1,1)点 D B
3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4C －1 5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时， f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
[解析] (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.互动探究学案命题方向1 ?幂函数的概念 已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．典例 1 『规律方法』 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．④⑤ 命题方向2 ?幂函数的图象典例 2B [思路分析] 利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断C1，C2，C3，C4的α值的大小．『规律方法』 认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于y＝xα，当α<0时，在第一象限内为双曲线的一支；当0<α<1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向上．B 二、四 命题方向3 ?幂函数的简单性质典例 3[思路分析] (1)当函数解析式中含有分数指数时，怎样求对应函数的定义域？
(2)当函数解析式的幂指数为负数时，怎样求对应函数的定义域？『规律方法』 (1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析．
(2)幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：
①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．[解析] 由已知，得m2－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.
又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；
当m＝－1或m＝3时，y＝x0，符合题意；
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图所示，符合题意，即m＝1或－1或3.用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论典例 5[错因分析] 该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[警示] 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．数学构造方法 在我们解决数学问题的过程中，经常需要依据问题情景构造函数、构造图形等，借助函数的性质，借助图形的直观性等实现对问题的简化、转化，方便求解．典例 5[思路分析] (1)当底数相同，指数不同的幂值比较大小时，我们可以将指数视作变量的两个不同值，将底数视作常数，构造指数函数利用指数函数的单调性求解；
(2)当底数不同，指数相同的幂值比较大小时可构造什么函数解决？
(3)当底数与指数都不同的两个幂值比较大小时，可否构造一个中间量，使其与待比较的幂值结合能够运用上述(1)(2)方法解决？『规律方法』 1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；0
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．2．给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．
第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．B
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过 ( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
[解析] ∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，
∴图象不可能经过第四象限，故选A．A C
4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是_____.3