高中数学新人教A版必修1课件：第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型（32张）

课件32张PPT。第三章函数的应用3.2　函数模型及其应用3.2.1　几类不同增长的函数模型自主预习学案
1．四种函数模型的性质增　增　增　增　快　慢　2. 三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax______xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax______xn.快　＞　慢　＜　(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是______函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越______，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有____________＜xn＜______.增　快　logax　ax　
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是 (　　)
A．y＝100x　　　　 B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
[解析]　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
D　2．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是 (　　)
A．增加了7.84%　　　　　 B．减少了7.84%
C．减少了9.5% D．不增不减
[解析]　设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
所以a－0.921 6a＝0.078 4a＝7.84%a，
故变化的情况是减少了7.84%.B　3．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为 (　　)
[解析]　由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．D　4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是________.
[解析]　由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0关于x呈指数函数变化的变量是______.典例 1 y2　
[思路分析]　(1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析]　以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．『规律方法』　三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.〔跟踪练习1〕
下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析]　(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．命题方向2　?巧用图象比较大小　　　　　已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小．
[思路分析]　已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.
条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．典例 2描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．〔跟踪练习2〕
函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)．忽视函数的性质致误　　　　　某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元，要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高的人数要越少，则下列函数最符合要求的是 (　　)典例 3C　[错解]　由条件知绩效工资不低于500元，且平均分在50分左右，故选A．[错因分析]　错误的根本原因是忽视了绩效分数越高，则绩效工资越高这个条件，实际上本题中的函数应是增函数，且先慢后快，在x＝50左右增长缓慢．[警示]　实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数．建模思想——函数模型的选择　　　　　某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
[思路分析]　本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．典例 4
结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．
因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
『规律方法』　本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
1．下列函数中，增长速度最慢的是 (　　)
A．y＝6x　　　　　　　 B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
[解析]　由函数的特征可知，对数函数y＝log6x增长速度最慢．B　2．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的 (　　)C　4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？