高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性（42张）

课件42张PPT。第一章集合与函数概念1.3　函数的基本性质1.3.2　奇偶性自主预习学案大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？函数的奇偶性y轴　原点　(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(4)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (　　)
[解析]　A、C、D中的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，B中的图象关于y轴对称，是偶函数．B　
2．下列函数为偶函数的是 (　　)
A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝x2
C．y＝x2＋x D．y＝x3
[解析]　y＝x＋1为非奇非偶函数；y＝x2＋x为非奇非偶函数；令f(x)＝x2，∴f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数；令g(x)＝x3，g(－x)＝(－x)3＝－x3＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．B　B　－2　互动探究学案命题方向1　?函数奇偶性的判断典例 1 [思路分析]　(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？
(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？『规律方法』　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
(5)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，
∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，
又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，
∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．
(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．命题方向2　?奇、偶函数图象的应用　　　　　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
[思路分析]　∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)在x>0时的图象．典例 2[解析]　(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．『规律方法』　1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．
2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．命题方向3　?利用函数的奇偶性求解析式　　　　　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．
[思路分析]　(1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？
(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．典例 3『规律方法』　利用函数奇偶性求函数解析式
利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．〔跟踪练习3〕
已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式 .
[解析]　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时， f(x)＝x2－x－1.忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误典例 4[错因分析]　要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性．
[警示]　1.函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．
2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：
(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x1(2)若f(x)是奇函数，定义域为M，则f(－x)＝－f(x)对任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意x∈M, f(－x)＝f(x)恒成立；
(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意x∈A，有m≤f(x)≤M.
解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．
2．遇到f(－x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答．　　　　　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于 (　　)
A．－26　　　　　　　　　 B．－18　
C．－10　　　　　　　　 D．10
[思路分析]　只有一个条件f(－2)＝10，两个待定系数a，b，不能通过列方程组方法求出a，b.由f(－2)求f(2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f(x)的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f(2)?A　典例 5
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于 (　　)
A．－1　　　　　 B．0
C．1 D．无法确定
[解析]　由题意得－1＋a＝0，∴a＝1.
C　
2．已知函数f(x)＝ax2(a>0)，则必有 (　　)
A．f(a)C．f(a)>f(－a) D．f(a)＝f(a＋1)
[解析]　∵f(－x)＝a(－x)2＝ax2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，∴f(a)＝f(－a)．
B　
3．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有 (　　)
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0
[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，
∴f(x)·f(－x)＝－f 2(x)≤0，故选C．
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝_____.
[解析]　f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0.
C　0　5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解析]　(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．