高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念章末整合提升（47张）

课件47张PPT。第 一 章集合与函数概念章末整合提升知 识 结 构要 点 归 纳
1．集合元素的互异性
在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．
2．集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系主要有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A?B时，不要遗漏A＝?.
3．集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B．
4．函数的单调性
函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则
(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2?f(x1)＝f(x2)．
(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．
函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．
5．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．专 题 突 破专题一　?集合学习中的注意点剖析集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．1．注意正确理解、运用集合语言
　　　　　(1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝______；
(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝ (　　)
A．(0,1)，(0,2)　　　 B．{(0,1)，(0,2)}
C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
[分析]　首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集．
典例 1?　D　
[解析]　(1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝?.
(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝M.故选D．
『规律方法』　学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的．2．注意元素的互异性
　　　　　已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．
[解析]　由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0.
当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2.
同理a≠－1.故a＝0.∴实数a的值为0.
典例 2『规律方法』　集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验．3．注意空集的特殊性
　　　　　已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－4x＋p＝0}，求?UA．
[分析]　符号?UA隐含了A?U，注意不要忘记A＝?的情形．
[解析]　当A＝?时，方程x2－4x＋p＝0无实数解．
此时Δ＝16－4p＜0，∴p＞4，
∴?UA＝?U?＝U＝{1,2,3,4,5}．
当A≠?时，方程x2－4x＋p＝0的两个根x1，x2(x1＜x2)，必须来自于U.
典例 3由于x1＋x2＝4，所以x1＝x2＝2或x1＝1，x2＝3.
当x1＝x2＝2时，p＝4，此时A＝{2}，?UA＝{1,3,4,5}；
当x1＝1，x2＝3时，p＝3，此时A＝{1,3}，?UA＝{2,4,5}．
综上所述，当p＞4时，?UA＝{1,2,3,4,5}；
当p＝4时，?UA＝{1,3,4,5}；
当p＝3时，?UA＝{2,4,5}．『规律方法』　求集合的补集时，不要忘记?的情形．分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到．专题二　?函数概念与性质1．求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
[注意]　①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同；②定义域是自变量x的允许取值范围．典例 4D　B　2．二次函数的单调性
二次函数的单调性关键在于开口方向和对称轴与区间的位置关系．
　　　　　已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围．
(1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]；
(2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；
(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．
[分析]　此题关键在于对单调区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．典例 5
[解析]　函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a.
(1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1，
∴a＝2.
(2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.
(3)由于函数在[－1,2]上单调，应满足1－a≤－1或1－a≥2，∴a≥2或a≤－1.
3．二次函数的区间最值
解决二次函数的区间最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类整合思想即可解决问题．下面通过例题详细分析此类问题的解法．(1)轴定区间定
　　　　　当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
[分析]　作出函数图象在所给范围的草图(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．典例 6[解析]　y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，作出函数的图象如图．
∵－2≤x≤2，∴当x＝1时，ymin＝－4，当x＝－2时，ymax＝9－4＝5.
[点评]　本题已知二次函数在自变量x的给定区间[m，n]上的图象是抛物线的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．(2)轴动区间定
　　　　　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，求f(x)在[－5，5]上的最大值与最小值．
[分析]　区间定，对称轴不定时，一般解法为：分别把对称轴平移至定区间的左侧、右侧及之间进行讨论，从而确定最值是在端点处取得还是在顶点处取得．本题中函数的对称轴为直线x＝－a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[－5,5]的相对位置进行分类讨论．典例 7[解析]　f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5,5]，对称轴为直线x＝－a.
(1)当－a＜－5，即a＞5时，函数f(x)在[－5,5]上单调递增，如图(1)，
∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.
(2)当－5≤－a＜0，即0＜a≤5时，如图(2)．
∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2.『规律方法』　(1)函数f(x)在[a，b]上单调递增时，f(x)max＝f(b)；函数f(x)在[a，b]上单调递减时，f(x)max＝f(a)；函数f(x)在[a，b]上不是单调函数时，找出图象上最高点的纵坐标，即为函数f(x)的最大值，图象上最低点的纵坐标，即为函数f(x)的最小值．
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以下四种情况：
①对称轴与区间[m，n]均是确定的；
②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
④动轴动区间，即对称轴不确定，区间[m，n]也不确定．
(3)轴定区间动
　　　　　二次函数f(x)＝x2－2x＋2，当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[分析]　因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：①区间在对称轴左侧；②区间在对称轴右侧；③对称轴在区间内．典例 8『规律方法』　对称轴确定，区间不确定时，可以把区间看成可移动的，分别移至对称轴的不同位置进行讨论．
4．抽象函数问题
抽象函数是相对具体的函数而言的，是指没有给出具体的函数解析式或对应关系，只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数．
抽象函数问题一般是由所给的条件或性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性，或是求函数值、解析式等．下面对抽象函数的单调性、奇偶性问题举例说明．　　　　　设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0.
又令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
典例 9
(2)解：在取x1，x2∈R，且x10，
于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝f(x2－x1)<0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是减函数，
∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)
＝(－3)×(－2)＝6，
f(x)的最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6.专题三　?数学思想方法1．数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．　　　　　　已知函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数f(x)的值域．
[解析]　(1)证明：∵函数定义域[－3,3]关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．典例 10『规律方法』　(1)含绝对值符号的函数图象的画法：
①根据绝对值定义去掉绝对值符号，将原函数化为分段函数；
②依次作每一段的图象．
(2)注意事项：
①若原函数具有奇偶性，可利用奇(偶)函数的对称性作图象；
②通常令绝对值号内的式子等于0，以求得讨论的分界点．2．分类讨论思想
分类讨论问题的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次．
解分类讨论问题的步骤是：
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；
(2)对所讨论的对象要进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一，分层不越级)；
(3)逐类讨论，即对各类问题逐类讨论，逐个解决；
(4)归纳总结，即对各类问题总结归纳，得出结论．　　　　　设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值．
[分析]　(1)根据函数奇偶性的定义知，判断某函数是否具有奇偶性，应先判断其定义域是否关于原点对称，再看是否有f(－x)±f(x)＝0；若要证明某函数不具有奇偶性，则只需举出反例即可；(2)求f(x)的最小值，首先去掉绝对值符号，然后根据对称轴与所研究区间的相对位置关系进行讨论．典例 11
3．转化与化归思想
为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的变化，把要解决的问题转化为已经解决的问题．这种解决问题的思想就是转化与化归思想．　　　　　对任意x∈[1，＋∞)，不等式x2＋2x－a>0恒成立．求实数a的取值范围．
[解析]　由已知x∈[1，＋∞)，x2＋2x－a>0恒成立，
即a令g(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，
则原问题可转化为a小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值问题．
∵g(x)＝(x＋1)2－1的图象的对称轴为x＝－1，
∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数．
∴当x＝1时，g(x)取最小值，g(1)＝3.∴a<3.
∴实数a的取值范围为{a|a<3}．典例 12『规律方法』　a