轴对称（习题）
? 例题示范
例1：已知：如图，AE平分∠FAC，EF⊥AF，EG⊥AC，垂足分别为点F，G，DE是BC的垂直平分线．
求证：BF=CG．
【思路分析】
读题标注：
1 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合题目其他条件，EF⊥AF，EG⊥AC，可得EF=EG；
2 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE，CE（如图所示），得到BE=CE；
3 题目所求为BF=CG，证明△BEF≌△CEG即可．
【过程书写】
证明：如图，连接BE，CE
∵AE平分∠FAC，EF⊥AF，EG⊥AC
∴EF=EG
∵DE是BC的垂直平分线
∴BE=CE
∵EF⊥AF，EG⊥AC
∴∠BFE=∠CGE=90°
在Rt△BEF和Rt△CEG中
∴Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）
∴BF=CG（全等三角形对应边相等）
? 巩固练习
1. 下列是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（ ）
A．△ABD≌△CBD
B．△ABC≌△ADC
C．△AOB≌△COB
D．△AOD≌△COD
3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．
第3题图 第4题图
4. 已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则
∠ACB=__________．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．
6. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．
7. 作图题：利用网格线，作出△ABC关于直线DE对称的图形△A1B1C1．
8. 已知：如图，P为∠ABC内一点，请在AB，BC边上各取一点M，N，使△PMN的周长最小．
9. 已知：如图，CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别连接AC，BC，AE，BE．求证：∠CAE=∠CBE．
10. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O．OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
求证：OD=OE．
11. 已知：如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．
? 思考小结
1. 轴对称的思考层次：
1 全等变换：对应边__________、对应角__________．
2 对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；
对称轴上的点到对应点的距离_____________．
3 应用：奶站问题等．
如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．
【参考答案】
? 巩固练习
1. B
2. B
3. 60°
4. 80°
5. 3
6. 32
7. 作图略
8. 作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．
9. 证明略
提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE
10. 证明略
提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论
11. 证明略
提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD≌△AOE
? 思考小结
1. ①相等、相等
②垂直平分；相等
③作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足条件的点
轴对称（讲义）
? 课前预习
1. 剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？
2. 做一做，想一想
在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考：
（1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）；
（2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）；
（3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP（填“>”，“<”或“=”）．
3. 如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，若PM=4 cm，则PN=______cm．
? 知识点睛
1. 如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形__________，这条直线叫做_________．
2. 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________，这条直线叫做_______．
3. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___________，对应线段________，对应角________．
4. 垂直平分线性质定理：
___________________________________________________．
5. 角平分线性质定理：
___________________________________________________．
? 精讲精练
1. 如图，在10×10的正方形网格中作图：作出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1．
2. 作图题：利用网格线，作出△ABC关于直线l的对称图形
△AB1C1．
3. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB的对应线段是_________，EF的对应线段是_________，∠A的对应角是______．连接CE交l于点O，则_____⊥_____，且________=________．
第4题图 第5题图
5. 如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若∠BAF=60°，则∠AEF=_____．
6. 如图，先将正方形纸片ABCD对折，折痕为MN，再把点B折叠到折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样得到的△ADH中（ ）
A． B．
C． D．
第6题图 第7题图
7. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，连接AD．若AC=4 cm，BC=8 cm，则△ADC的周长为__________．
8. 已知：如图，在△ABC中，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，且△ADE的周长为32 cm，则BC=__________．
第8题图 第9题图
9. 已知：如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C，D，连接CD，交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长为8，则CD的长为_________．
10. 如图，MD，ME分别为△ABC的边AB，BC的垂直平分线，若MA=3，求MC的长度．
11. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值是____________．
第11题图 第12题图
12. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，若CD=3 cm，AB=10 cm，则△ABD的面积为_________．
13. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=3 cm，AC=2 cm，则S△ABD:S△ACD=_________．
14. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，DM平分
∠ADC，AM平分∠DAB．求证：MB=MC．
【参考答案】
? 课前预习
1. 都是左右两边对称的图形。
2. （1）相等；
（2）垂直；
（3）=
3. 4
? 知识点睛
1.成轴对称；对称轴
2.轴对称图形；对称轴
3.垂直平分；相等；相等
4.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
5.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
? 精讲精练
1. 略
2. 略
3. C
4. GH；CD；∠G；CE；l；OC；OE
5. 75°
6. B
7. 12cm
8. 32cm
9. 8
10. 3
11. 3
12. 15cm2
13. 3:2
14.证明略
轴对称（随堂测试）
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若△ABC和△EBC的周长分别为60 cm和38 cm，则△ABC的腰长为____________，底边长为____________．
2. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB，AC边上，且∠DEA+∠DFA=180°．求证：DE=DF．
【思路分析】
（1）读题标注：
（2）梳理思路：
①从条件出发：看到角平分线考虑角平分线上的点到角两边的距离相等，可作________________，________________，可得______________________．
②题目所求为DE=DF，证明____________________即可．
【过程书写】
证明：如图，
【参考答案】
1. 22cm，16cm
2. 思路分析：
①DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，DM=DN
②△DEM≌△DFN
过程书写略
过程规划:
1.辅助线描述
2.为全等准备三组条件
①②③
3.证明
4.根据全等性质得结论
DEDF
过程规划:
1.辅助线描述
2.为全等准备三组条件
①∠DME=∠DNF
②∠DEM=∠DF
3)DMDM
3.证明△DEMe△DFN
4.根据全等性质得结论DE=DF
