等腰三角形（习题）
? 例题示范
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC外，CD⊥AD于点D，．求证：∠ACD=∠B．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
由条件，可尝试取BC的中点E，此时结合等腰构造三线合一的线AE，如图所示．
要证∠ACD=∠B，可以证明△ABE≌△ACD．
【过程书写】
证明：如图，取BC的中点E，连接AE．
∵E是BC的中点
∴
∵
∴BE=CD
∵AB=AC，E是BC的中点
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∵CD⊥AD
∴∠D=90°
∴∠AEB=∠D=90°
在Rt△ABE和Rt△ACD中
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）
∴∠ACD=∠B
例2：等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为__________cm．
【思路分析】
等腰三角形一边长为5cm，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论：
1 如果5cm为底，则根据周长为12cm，可知腰长为3.5cm．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．
2 如果5cm为腰，则根据周长为12cm，可知底边长为2cm．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．
综上，该等腰三角形的底边长为5cm或2cm．
? 巩固练习
1. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠C的度数．
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，
∠BAD=70°，则∠E=______．
第2题图 第3题图
3. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，若CD=AD=BC，则∠A=_________．
4. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点P在AD上．求证：PB=PC．
6. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．
求证：BD=CE．
7. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．
8. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．
9. 已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．
? 思考小结
1. 要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：
1 如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；
2 如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．
2. 将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．
【参考答案】
? 巩固练习
1. 50°
2. 50°
3. 36°
4. D
5. 证明略
提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC
6. 证明略
提示：根据等边对等角可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可得∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等，可得BD=CE
7. 20
8. 80°或40°
9. 这样的点能找4个，作图略
? 思考小结
1. ①全等
②等腰
2. 等边，=，，，一半
等腰三角形（讲义）
? 课前预习
1. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）若∠1=∠2，则BD____DC（填“>”，“<”或“=”）；
（2）若BD=CD，则AD____BC（填“⊥”或“∥”）；
（3）若AD⊥BC，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．
2. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．
? 知识点睛
1. ______________的三角形叫做等腰三角形．
2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．
3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．
4. 三边都______的三角形是等边三角形．
等边三角形三边都相等，三个内角都是________．
5. “三线合一”模块书写：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC且交BC于点D．求证：BD=CD．
证明：
? 精讲精练
1. 在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．
2. 如图，在△ACD中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=____．
第2题图 第3题图
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，BD=BE，
∠A=100°，则∠DEC=________．
4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，CD=AC，AD=BD，则∠BAC=______．
第4题图 第5题图
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AC上，AD=AE，若∠BAD=50°，则∠CDE=________．
6. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD⊥BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．求证：AE=ED．
7. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC外，CD⊥AD
于点D，．求证：∠ACD=∠B．
8. 已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，DF⊥AC于F，延长DF到E，使EF=DF，连接AE．求∠E的度数．
9. 若等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．
10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．
11. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．
12. 已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．
13. 已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．
【参考答案】
? 课前预习
1. （1）=；
（2）⊥；
（3）=
2. 18或21
? 知识点睛
1. 有两边相等
2. 轴对称；三线合一；对称轴
3. 相等；等边对等角；
相等；等角对等边
4. 相等；60°
5. 证明：如图，
∵AB=AC；AD平分∠BAC
∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）
∴BD=CD
? 精讲精练
1. 60°；60°；45°；45°；36°；36°
2. 80°
3. 100°
4. 108°
5. 25°
6. 证明略
提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE
7. 证明略
提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．
8. ∠E=60°
提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，
从而∠E=∠ADE
9. 3cm
10. 40°或100°
11. 50°或130°
12. 这样的点能找4个；作图略
13. 这样的点能找2个；作图略
等腰三角形（随堂测试）
1. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若
∠A=40°，则∠DBC=______．
2. 已知等腰三角形的周长为28 cm，其中一边长为10 cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．
3. 已知：如图，在△ABC中，E为BC边上一点，连接AE，D为AE的中点，连接BD，∠BAD=∠EAC+∠C．求证：AD⊥BD．
【参考答案】
1. 20°
2. 10cm或8cm
3. 证明略
提示：利用外角可以得到∠AEB=∠BAD，根据等角对等边，得BA=BE，因为D是AE的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD⊥BD
