3.2.1 几类不同增长的函数模型 学案

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学案. 几类不同增长的函数模型

知识点一　几类已知函数模型

函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)


知识点二　应用函数模型解决问题的基本过程

用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．


类型一：一次函数，二次函数模型
例1、某水果店购进某种水果的成本为，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价与时间之间的函数关系式为，销售量与时间的函数关系式为。
（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售水果就捐赠元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间 的增大而增大，求捐赠额的值。




变式1：现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5).现有两个拟合模型，甲：y＝＋1，乙：y＝3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用（ ）作为拟合模型较好.



类型二、指数函数模型
例2、复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．
(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；
(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；
(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元)．(参考数据：1.073＝1.225 0，1.074＝1.310 8，1.075＝1.402 551，1.076＝1.500 730)





变式2：设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为________ kPa．
类型三：对数函数模型
例3、为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．
(1)写出第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域
(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据，)




变式3：里氏震级M的计算公式为：M＝lg Alg ，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍



类型四：分段函数模型
例4、某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；….即一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个.乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为元；如果全部在乙店购买，则所需金额为元.
(1)分别求出，与x之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？







例5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）＝假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律。
要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？


答案

例1：
解：（Ⅰ）设利润为y（元），则，
当t＝10时，y max＝1250，即第十天的销售利润最大，最大利润为1250元．
（Ⅱ）设捐赠后的利润为W（元）
则＝，
令W＝f（t），则二次函数f（t）的图象开口向下，对称轴t＝2n+10，
∵利润随时间t（t∈N）的增大而增大，且捐赠后不亏损，
∴，解得n＝10．
变1：甲
例2：解：（1）∵某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．
∴x年后，需要还款总数y之间的函数关系式为：
y＝10（1+7%）x，x∈N*．
（2）5年后的还款总款为：
y＝10（1+7%）5＝14.0255万元．
（3）由已知得x（1+1.07+1.072+1.073+1.074）＝14.0255，
解得x＝2.4389，
∴每次还款的金额为2.4389万元．
变式2：81
例3：解：(1)第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式万元，其定义域为
(2)由可得，即，
即企业从第8年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．

变3：6 10000
例4：解：（1）y1＝，
y2＝60x（x∈N+）
（2）令﹣2x2+80x＝60x解得x＝10，当0＜x＜10时，去乙店花费较少
当x＝10时，甲乙两店一样当x＞10时，去甲店花费较少，
若该茶社要购买12个茶壶，去甲店．
例5.解：依题意，G（x）＝x+2，设利润函数为f（x），则
f（x）＝R（x）﹣G（x）＝
（1）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，当0≤x≤5时，解不等式﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0．
即x2﹣8x+7＜0．∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）当x＞5时，解不等式8.2﹣x＞0，得x＜8.2．
∴5＜x＜8.2．综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
（2）0≤x≤5时，f（x）＝﹣0.4（x﹣4）2+3.6，故当x＝4时，f（x）有最大值3.6．
而当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5＝3.2所以，当工厂生产400万台产品时，赢利最多．又x＝4时，＝240（元/台），故此时每台产品售价为240（元/台）．
变式5：
解：（1）由题意得，当t＝5时，f（t）＝140，即100?﹣60＝140，解得，a＝4；
（2）f（5）＝140，f（35）＝﹣15×35+640＝115，由于f（5）＞f（35），
故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；
（3）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，
②当10＜t≤20时，f（t）＝340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，
故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5＝分钟．






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