第三章 函数的应用（函数与方程综合）学案

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学案 函数与方程综合


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考点一：函数的零点与方程根的关系
1．已知函数，g（x）＝f（x）+x，若g（x）有且仅有一个零点，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，0） D．[0，+∞）


考点二：函数零点判定定理
2．已知，若函数度g（x）＝f（x）﹣mx有三个不同零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．﹣2＜m＜0 B．﹣2≤m≤0 或 m＞e
C．﹣2＜m＜0 或 e＜m＜e2 D．﹣2＜m＜0 或 m＞e


3．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x﹣2）＝f（x+2），当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+1），则方程f（x）＝0在区间[0，8]上的解的个数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9



考点三：二分法的应用
用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当|a﹣b|＜ε（ε为精确度）时，函数零点近似值x0与真实零点的误差最大不超过（　　）
A． B． C．ε D．2ε


5.已知函数y＝f（x）为[0，1]上的连续数函数，且f（0）?f（1）＜0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5



考点四：一元二次方程根的分布问题
6、关于的方程在区间上有唯一实根，则实数的取值范围为（　　）
A. B. C.? D.


7、一元二次方程的两个根都是正数，则的取值范围是(　　)
A.或 B.
C. D.


考点五：.函数模型的应用
8.某公司为了实现每月100万元的利润目标，拟制定一个激励销售人员的奖励方案，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时，奖金不超过利润的30%，现有三个奖励模型：y＝0.12x，y＝lg x＋2，y＝1.02x，其中哪个模型能符合公司要求．(注参考数据：1.0280≈4.9，1.0290≈5.9，1.02100≈7.2)



9.上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行3千米，3千米以后按每千米按2.5元计价，可再行12千米，以后每千米都按3.8元计价，假如忽略因交通拥挤而等待的时间．
（1）请建立车费y（元）和行车里程x（千米）之间的函数关系式；
（2）注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长8.91千米）须付车费31元，走路线二（路线二总长8.71千米）也须付车费31元，将上述函数解析式进行修正（符号[x]表示不大于x的最大整数，符号{x}表示不小于x的最小整数），并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62千米）





10．随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入一个税起征点一专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．
新个税政策的税率表部分内容如下：
级数 一级 二级 三级 四级 ……
每月应纳税所得额（含税） 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 超过25000元至35000元的部分 ……
税率（%） 3 10 20 25 ……
（Ⅰ）现有李某月收入19600元，膝下有一名子女，需要养老人，（除此之外，无其它专项附加扣除）请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（Ⅱ）现收集了某城市50名年龄在40岁到50岁之间的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有40人，没有孩子的有10人，有一个孩子的人中有30人需要赡养老人，没有孩子的人中有5人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的50人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，试求在新个税政策下这4种人群所要缴纳的个税额？






答案
1.解：如图，g（x）有且仅有一个零点等价于f（x）＝﹣x有且仅有一个零点，
结合y＝f（x）的图象与y＝﹣x的图象可知，
当e0+a≥0，即a≥﹣1时，y＝f（x）的图象与y＝﹣x的图象有唯一交点，
故选：B．

2.
∵函数度g（x）＝f（x）﹣mx有三个不同零点，
∴当x≠0时，函数y＝m与函数f（x）有两个交点，在直角坐标系中画出y＝m与函数f（x）的图象如下，

则由图象易得，﹣2≤m＜0，或m＞e，
∴m的取值范围为：[﹣2，0）∪（e，+∞）．
故选：B．
3.解：由f（x﹣2）＝f（x+2）得，f（x）＝f（x+4），∴f（x）的周期为4，
∵x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+1），f（x）为奇函数，
当x＝0时，f（0）＝0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＝﹣ln（x2+x+1），
∴当﹣2＜x＜2时，f（x），
当﹣2＜x＜2时，令f（x）＝0，则x＝0，或x＝±1，
由于f（x）的周期为4，
∴当x∈[0，8]时，f（x）的零点为：0，1，3，4，5，7，8共7个．
4.B 5.解：设须计算n次，则n满足0.1，即2n＞10．故计算4次就可满足要求，
所以将区间（1，2）等分的次数为4次．故选：C．
6.∵方程在区间上有唯一实根，∴，当且仅当时取等号，所以在区间上实数的取值范围为.
7.

8.解：三个奖励模型都是增函数，下面分三步进行，
第一步：作简图，初步判断．

从简图知，当x∈[10，100]时，仅有模型y＝lg x＋2的图象不超过直线y＝5的上方，这说明按y＝lg x＋2初步符合公司要求．
第二步：数字判断．
(1)对于模型y＝0.12x，
在区间[10，100]上递增，且当x＝时，y＝5.
因此当x∈(，100]时，y>5，不符合要求．
(2)对于模型y＝1.02x，在区间[10，100]上递增，且由参考数据知，x＝80时，y≈4.9，x＝90时，y≈5.9，
即在区间(80，90)内有一个点x0，满足1.02x0＝5，
因此当x∈(x0，100]时，y>5，不符合要求．
(3)对于模型y＝lg x＋2，在区间[10，100]上递增，且x＝100时，y＝4，
即x∈[10，100]时，y≤4，符合要求．
第三步：验证模型y＝lg x＋2的合理性．由题意得≤0.3，
即lg x≤0.3x－2，x∈[10，100]．
作出y＝lg x与y＝0.3x－2的图象．

从图象看出，当x＝10时，lg x＝0.3x－2.
当x∈(10，100]时，lg x<0.3x－2.
故按模型y＝lg x＋2奖励，奖金不超过利润的30%.[来源:学科网]
综上所述，模型y＝lg x＋2符合公司要求．
9.解：（1）当3＜x≤15时，y＝16+2.5（x﹣3）＝2.5x+8.5，
当x＞15时，y＝16+12×2.5+3.8（x﹣15）＝3.8x﹣11．
∴车费y与行车里程x的关系为：．
（2）y，
故当x＝31.62时，y＝3.8×32﹣11＝110.6≈110元．
故应付车费110元．
10.解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：19600﹣5000﹣1000﹣2000＝11600元，
不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，
超过3000元至12000元的部分税额为8600×10%＝860元，
所以李某月应缴纳的个税金额为90+860＝950元．
（2）有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000﹣1000﹣2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%＝990元，
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000﹣1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%+2000×20%＝1390元，
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000﹣2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%+1000×20%＝1190元，
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000＝15000元
月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%+3000×20%＝1590元；









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