[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
答案：D
2．已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是( )
A．M>N B．M?N
C．N?M D．M?N
解析：因为y＝(x－1)2－2≥－2，
所以M＝{y|y≥－2}，所以N?M.
答案：C
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.
答案：C
4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
答案：B
5．设A＝{x|2
A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
解析：因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
解析：A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝.
结合数轴知A?B.
答案：A?B
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a的值为________．
解析：∵A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，
∴a2－a＋1∈A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；
由a2－a＋1＝a，得a＝1.
经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．
故a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
8．已知A＝{x|－3a}，A?B，则实数a的取值范围是________．
解析：在数轴上画出集合A.
又因为A?B，所以a<－3，
当a＝－3时也满足题意，
所以a≤－3.
答案：{a|a≤－3}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
解析：方法一 根据集合中元素的互异性，
有或解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求由实数a的值组成的集合C.
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.
所以A＝{1,2}．
因为B?A，
所以对B分类讨论如下：①若B＝?，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；
②若B≠?，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
[能力提升](20分钟，40分)
11．世界羽毛球锦标赛于2018年7月30日至8月5日在中国南京举行，若集合A＝{参加羽毛球锦标赛的运动员}，集合B＝{参加羽毛球锦标赛的男运动员}，集合C＝{参加羽毛球锦标赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．A?B B．B?C
C．C?A D．B?A
解析：易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而B，C之间没有关系，因此只有D选项正确，
答案：D
12．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．
解析：集合A的子集分别是：?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
答案：36
13．已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}．是否存在实数x，使得B?A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
解析：假设存在实数x，使B?A，
则x＋2＝3或x＋2＝x2.
(1)当x＋2＝3时，x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x≠1.
(2)当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，故x＝－1或x＝2.
①当x＝－1时，A＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x≠－1.
②当x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B?A.
综上所述，存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}满足B?A.
14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
即实数m的取值范围为{m|m≥－1}．
课件31张PPT。1.1.2 集合间的基本关系
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.子集、真子集的概念
b
b
2.空集的概念
b
b
3.Venn图
a
a
知识导图,
学法指导,
1.注意辨析两大关系：
(1)元素与集合的关系；
(2)集合与集合的关系．
2．本节的学习重点是子集、真子集、空集的概念；难点是集合之间关系的应用．
3．学习中要注意集合之间的关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言.
知识点一 子集
文字语言
符号语言
图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
对任意元素x∈A，必有x∈B，则A?B(或B?A)，读作A包含于B或B包含A
“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
知识点二 集合相等
1．自然语言：如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等．
2．符号语言：若A?B，又B?A，则A＝B.
(1)若A?B，又B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B，且B?A.
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
知识点三 空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
规定：空集是任何集合的子集．
知识点四 真子集
文字语言
符号语言
图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A是集合B的子集，且在集合B中存在一个元素不是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集
若集合A?B，但x∈B，且x?A，则A?B(或B?A)(读作“A真包含于B”或“B真包含A”)
在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
知识点五 子集的性质
1．任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
2．对于集合A，B，C，
(1)若A?B，B?C，则A?C；
(2)若A?B，B?C，则A?C.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A?B.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.集合{0,1}的子集有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：集合{0,1}的子集为?，{0}，{1}，{0,1}．
答案：D
3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0?A B．{0}∈A C．?∈A D．{0}?A
解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，D正确．
答案：D
4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )
解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N?M.
答案：B
类型一 集合间关系的判断
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
【解析】 (1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
【答案】 (1)B (2)见解析
根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．
方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；
若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )
A．M?T B．M?T C．M＝T D．M?T
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M?T.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
答案：(1)A (2)见解析
学习完知识点后，我们可以得到B?A，C?A，D?A，D?B，
D?C.
类型二 子集、真子集的个数问题
例2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )
A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是
【解析】 (1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．
(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
【答案】 (1)B (2)C
(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A?C?B确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．
方法归纳
求集合子集、真子集个数的三个步骤
跟踪训练2 (1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
解析：(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
(2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．
答案：(1)B (2)5
由A中含有奇数的个数分类：A中含1个奇数，2个奇数．
类型三 根据集合的包含关系求参数
例3 已知集合A＝{x|1【解析】 (1)当a＝0时，①
A＝?，满足A?B.
(2)当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1∴a≥2.
(3) 当a<0时，A＝.③
∵A?B，∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}.
①欲解不等式10，a<0进行讨论．
②A?B用数轴表示如图所示：
由图易知，和需在－1与1之间．当＝－1，或＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如＝1时，A＝，x取不到1.
③a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．
方法归纳
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
跟踪训练3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B?A，求实数a的取值集合．
解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B?A.
(2)当B＝?时，满足B?A，此时a＝0；当B≠?，a≠0时，集合B＝，由B?A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为,
(1)解方程x2－8x＋15＝0，
求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．
(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．
①B＝?，此时a＝0；
②B≠?，此时a≠0.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
答案：D
2．已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是( )
A．M>N B．M?N
C．N?M D．M?N
解析：因为y＝(x－1)2－2≥－2，
所以M＝{y|y≥－2}，所以N?M.
答案：C
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.
答案：C
4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
答案：B
5．设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
解析：因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
解析：A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝.
结合数轴知A?B.
答案：A?B
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a的值为________．
解析：∵A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，
∴a2－a＋1∈A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；
由a2－a＋1＝a，得a＝1.
经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．
故a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
8．已知A＝{x|－3a}，A?B，则实数a的取值范围是________．
解析：在数轴上画出集合A.
又因为A?B，所以a<－3，
当a＝－3时也满足题意，
所以a≤－3.
答案：{a|a≤－3}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
解析：方法一 根据集合中元素的互异性，
有或解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求由实数a的值组成的集合C.
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.
所以A＝{1,2}．
因为B?A，
所以对B分类讨论如下：①若B＝?，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；
②若B≠?，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
[能力提升](20分钟，40分)
11．世界羽毛球锦标赛于2018年7月30日至8月5日在中国南京举行，若集合A＝{参加羽毛球锦标赛的运动员}，集合B＝{参加羽毛球锦标赛的男运动员}，集合C＝{参加羽毛球锦标赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．A?B B．B?C
C．C?A D．B?A
解析：易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而B，C之间没有关系，因此只有D选项正确，
答案：D
12．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．
解析：集合A的子集分别是：?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
答案：36
13．已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}．是否存在实数x，使得B?A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
解析：假设存在实数x，使B?A，
则x＋2＝3或x＋2＝x2.
(1)当x＋2＝3时，x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x≠1.
(2)当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，故x＝－1或x＝2.
①当x＝－1时，A＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x≠－1.
②当x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B?A.
综上所述，存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}满足B?A.
14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
即实数m的取值范围为{m|m≥－1}．
