[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案：C
2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是( )
A．－1∈A B．－11∈A
C．15∈A D．32∈A
解析：－11＝3×(－4)＋1，故选B.
答案：B
3．已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N*，则必有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
解析：x∈N*，且－≤x≤，所以x＝1,2.所以1∈A.
答案：D
4．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为( )
A．－4 B．4
C．1 D．－1
解析：因为－5∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.故选A.
答案：A
5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．判断下列说法正确的是________．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
(2)1，，，，这些数组成的集合含有五个元素；
(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；
(4)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素．
解析：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合．
(2)不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，，组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合．
(4)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写成集合时只有3和2两个元素．
答案：(3)
7．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的是________．
解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．
答案：(1)(4)
8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
解析：因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)大于3的所有自然数组成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)接近于0的数的全体组成一个集合．
解析：(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5＝，所以1,0.5，，组成的集合含有3个元素，故(3)错误．
10．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
解析：因为∈A，所以＝2∈A，
所以＝－3∈A，
所以＝－∈A，
所以＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：B
12．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“?”)．
解析：直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，
故(2,7)∈P.
答案：∈
13．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解析：因为a∈A且3a∈A，
所以解得a<2.又a∈N，
所以a＝0或1.
14．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且
∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解析：数集N，Z不是“闭集”，
数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N,2∈N，而＝1.5?N；
3∈Z，－2∈Z，
而＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
故Q是闭集．同理R也是闭集．
课件23张PPT。
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2.∴x<5，又∵x∈N＋，
∴x＝1,2,3,4.
答案：B
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3解析：偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3答案：D
3．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，t<5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，s<6}
解析：集合中的元素除以4余1，故可以用4k＋1(0≤k≤4，k∈Z)或4k－3(1≤k≤5，k∈Z)来表示.
答案：D
4．下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1.(2)方程(x－1)3(x＋2)(x－5)＝0的解集含有3个元素．(3)0∈?.(4)满足1＋x>x的实数组成的集合为R.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)集合N中的最小元素是0，错误；(2)重复的元素按1个记，正确；(3)空集中不含有任何元素，错误；(4)1＋x>x恒成立的解集为R.
答案：C
5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时， z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
7．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，则p＋q＝________.
解析：由得：
∴p＋q＝0.
答案：0
8．集合{x∈N|2x－5<0}中所有元素的和为____________________________________．
解析：由2x－5<0得x<，
∵x∈N，
∴x＝0,1,2，
∴元素之和为3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
解析：(1)∵－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2，∴A＝{－2，－1,0,1,2}；
(2)∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}；
(3)解方程组得∴B＝{(x，y)|(3,2)}；
(4)∵15的正约数有1,3,5,15四个数字，
∴N＝{1,3,5,15}．
10．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：由题知a＋b＝0且b＝1，则b－a＝2.
答案：C
12．已知集合A＝，用列举法表示集合A为________．
解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
答案：{0,2,3,4,5}
13．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解析：(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图象知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．
14．已知集合A＝{x|ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}，求
(1)当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围；
(2)当b＝－2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，A＝，当a＝1时，A＝{－1}，当a>1时，A＝?.
故a的取值范围为a≥1或a＝0.
(2)当a＝0时，A＝，当a＝1时，A＝{1}，当a<1时，Δ>0，A中有两个元素，符合题意．
故a的取值范围为a≤1或a＝0，即a≤1.
课件23张PPT。第1课时 集合的含义
知识点一 集合的含义
1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．
3．元素与集合的符号表示
表示
1．集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
知识点二 集合中元素的特征与集合相等
1．集合中元素的特征
特征
含义
确定性
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准
互异性
给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性
集合中的元素无先后顺序之分
2.集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．例如，集合{－1,1}与集合
{1，－1}是相等的．
知识点三 元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
示例
a属于集合A
a是集合
A中的元素
a∈A
若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江?A
a不属于集合A
a不是集合
A中的元素
a?A
2．对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
知识点四 常用数集及符号表示
常用数集的字母表示
常用数集
简称
记法
全体非负整数的集合
非负整数集(或自然数集)
N
所有正整数的集合
正整数集
N*或N＋
全体整数的集合
整数集
Z
全体有理数的集合
有理数集
Q
全体实数的集合
实数集
R
3．准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集合．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列各项中，不能组成集合的是( )
A．所有的正数 B．所有的老人
C．不等于0的数 D．我国古代四大发明
解析：“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选B.
答案：B
3．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A
解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
答案：C
4．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a?N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝，则－a?N且a?N，显然②不正确．
答案：A
类型一 集合的概念
例1 下列对象能构成集合的是( )
A．高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.
【答案】 D
构成集合的元素具有确定性．
方法归纳,
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的负数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.
答案：C
C中元素不确定．
类型二 元素与集合的关系
例2 (1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4还讨论吗？
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．,
跟踪训练2 下列说法正确的是( )
A．0?N B.∈Q C．π?R D.∈Z
解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.是无理数，Q是有理数集合，?Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.＝2,2是正整数，则∈Z，故本选项正确．故选D.
答案：D
N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．
类型三 集合元素的特性
例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
【解析】 因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1}，符合题意．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3}，符合题意．
综上可知，满足题意的实数a的值为0或－1.
首先根据－3∈A，求a的所有可能取值，然后根据元素的互异性逐个检验，最后确定实数a的值．
方法归纳
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
跟踪训练3 (1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
解析：(1)由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素．所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.
答案：(1)D (2)－1
由元素互异性知边不能相等．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案：C
2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是( )
A．－1∈A B．－11∈A
C．15∈A D．32∈A
解析：－11＝3×(－4)＋1，故选B.
答案：B
3．已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N*，则必有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
解析：x∈N*，且－≤x≤，所以x＝1,2.所以1∈A.
答案：D
4．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为( )
A．－4 B．4
C．1 D．－1
解析：因为－5∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.故选A.
答案：A
5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．判断下列说法正确的是________．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
(2)1，，，，这些数组成的集合含有五个元素；
(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；
(4)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素．
解析：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合．
(2)不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，，组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合．
(4)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写成集合时只有3和2两个元素．
答案：(3)
7．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的是________．
解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．
答案：(1)(4)
8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
解析：因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)大于3的所有自然数组成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)接近于0的数的全体组成一个集合．
解析：(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5＝，所以1,0.5，，组成的集合含有3个元素，故(3)错误．
10．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
解析：因为∈A，所以＝2∈A，
所以＝－3∈A，
所以＝－∈A，
所以＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：B
12．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“?”)．
解析：直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，
故(2,7)∈P.
答案：∈
13．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解析：因为a∈A且3a∈A，
所以解得a<2.又a∈N，
所以a＝0或1.
14．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且
∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解析：数集N，Z不是“闭集”，
数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N,2∈N，而＝1.5?N；
3∈Z，－2∈Z，
而＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
故Q是闭集．同理R也是闭集．
第2课时 集合的表示
知识点一 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如，方程(x＋1)(x－1)＝0的解集可以表示为{－1,1}．
1．列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
知识点二 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2．描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列各组集合，表示相等集合的是( )
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}
A．① B．② C．③ D．以上都不对
解析：①M表示点(3,2)，N表示点(2,3); ②由元素的无序性知是相等集合； ③M表示一个元素点(1,2)，N表示两个元素分别为1,2.
答案：B
3．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”的意思重复．
答案：D
4．下列表述正确的是( )
A．{0}＝? B．{1,2}＝{2,1}
C．{?}＝? D．0?N
解析：?中不含有任何元素，N中包含0.
答案：B,
类型一 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)小于8的质数组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【解析】 (1)大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，∴A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，∴B＝{－3,3}．
(3)小于8的质数有2,3,5,7，∴C＝{2,3,5,7}．
(4)由得∴一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，∴D＝{(1,4)}.
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用大括号括起来．
[注意] 用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏．
方法归纳
用列举法表示集合的三个注意点
(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．
(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．
(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数集；
(2)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合；
(3)求方程组的解集．
解析：(1)∵不大于10是小于或等于10；非负是大于或等于0的意思，∴不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝＋，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2,0,2}．
(3)解方程组得 故此方程组的解集为{(1，－1)}．
(2)审题要讨论a、b的符号．
(3)元素是点．
类型二 描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合，并指明是有限集还是无限集．
(1)大于5小于10的所有有理数组成的集合；
(2)被3除余2的正整数组成的集合；
(3)反比例函数y＝的自变量的值组成的集合；
(4)三角形的全体组成的集合．
【解析】 (1)设元素为x，则大于5小于10的有理数为5(2)设元素为x，则x＝3k＋2，k∈N＋，因此用描述法表示集合为{x|x＝3k＋2，k∈N＋}；无限集．
(3)函数y＝的自变量应满足x≠1，组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1}；无限集．
(4)设元素为x，则用描述法表示为{x|x是三角形}；无限集.
找准集合的代表元素，说明元素的条件，用描述法表示相应集合．
方法归纳
描述法表示集合的步骤
(1)确定集合中元素的特征．
(2)给出其满足的性质．
(3)根据描述法的形式写出其满足的集合．,
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
(1)；
(2)被5除余1的正整数组成的集合；
(3)坐标平面内坐标轴上的点集．
解析：(1)集合用描述法表示为.
(2)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
(3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)}．
找到元素的规律、、，…，n∈N*易忽略．
类型三 集合表示法的选择
例3 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)100以内被3除余1的正整数；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合；
(4)所有的正方形．
【解析】 (1)可知方程组的解为x＝1，y＝1.故可写成{(1,1)}，或{(x，y)|x＋y＝2，且3x＋2y＝5}．①
(2)可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N*，且1≤x≤100}，或{100以内被3除余1的正整数}．②
(3)可以写成{(x，y)|x±y＝0}．③
(4)可以写成{正方形}．④
①容易错写成{1,1}或{x＝1，y＝1}等，要注意代表元素的选取．
②若用描述法，一定要把限制条件n∈N*，x＝3n＋1,1≤x≤100都写出来．
③容易错写成{y＝x}．
④用描述法表示集合有两种，即文字描述和符号描述．
方法归纳,
用描述法表示集合时，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他类型的集合．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现表示元素的符号以外的字母，则要对新字母说明其含义并指出其取值范围，如本例中的(2)．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：元素之间用“，”隔开，而不是用“、”，元素不能重复，不考虑元素顺序．,
跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集．
(1)由大于5，且小于9的所有自然数组成的集合；
(2)被5除余2的所有正整数组成的集合；
(3)不等式2x＋3≥0的解组成的集合；
(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
解析： (1){6,7,8}，有限集
(2){x|x＝5n＋2，n∈N}，无限集
(3){x|2x＋3≥0}，无限集
(4){(x，y)|y＝x2}，无限集,
元素有限的一般用列举法.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2.∴x<5，又∵x∈N＋，
∴x＝1,2,3,4.
答案：B
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3解析：偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3答案：D
3．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，t<5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，s<6}
解析：集合中的元素除以4余1，故可以用4k＋1(0≤k≤4，k∈Z)或4k－3(1≤k≤5，k∈Z)来表示.
答案：D
4．下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1.(2)方程(x－1)3(x＋2)(x－5)＝0的解集含有3个元素．(3)0∈?.(4)满足1＋x>x的实数组成的集合为R.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)集合N中的最小元素是0，错误；(2)重复的元素按1个记，正确；(3)空集中不含有任何元素，错误；(4)1＋x>x恒成立的解集为R.
答案：C
5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时， z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
7．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，则p＋q＝________.
解析：由得：
∴p＋q＝0.
答案：0
8．集合{x∈N|2x－5<0}中所有元素的和为____________________________________．
解析：由2x－5<0得x<，
∵x∈N，
∴x＝0,1,2，
∴元素之和为3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
解析：(1)∵－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2，∴A＝{－2，－1,0,1,2}；
(2)∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}；
(3)解方程组得∴B＝{(x，y)|(3,2)}；
(4)∵15的正约数有1,3,5,15四个数字，
∴N＝{1,3,5,15}．
10．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：由题知a＋b＝0且b＝1，则b－a＝2.
答案：C
12．已知集合A＝，用列举法表示集合A为________．
解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
答案：{0,2,3,4,5}
13．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解析：(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图象知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．
14．已知集合A＝{x|ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}，求
(1)当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围；
(2)当b＝－2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，A＝，当a＝1时，A＝{－1}，当a>1时，A＝?.
故a的取值范围为a≥1或a＝0.
(2)当a＝0时，A＝，当a＝1时，A＝{1}，当a<1时，Δ>0，A中有两个元素，符合题意．
故a的取值范围为a≤1或a＝0，即a≤1.
