[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
解析：选项A中的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除；选项C，D中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B中的函数图象关于y轴对称，是偶函数，故选B.
答案：B
4．下列四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－a，f(a))．
表述正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：偶函数的图象一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图象与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f(x)＝是奇函数，从而可知②是错误的．
若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象上，则点(－a，－f(a))也在其图象上，故④是错误的．
答案：A
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：由图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，则k等于________．
解析：由于函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，因此k－1＝0，k＝1.
答案：1
7．给出下列四个函数的论断：
①y＝－|x|是奇函数；
②y＝x2(x∈(－1,1])是偶函数；
③y＝－是奇函数；
④若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内f(x)·g(x)为奇函数．
其中正确的有________．(把所有正确论断的序号全填上)
解析：由奇、偶函数的定义知y＝－|x|为偶函数，故①不正确；
注意到函数y＝x2(x∈(－1,1])的定义域不关于原点对称，可知它既不是奇函数也不是偶函数，故②不正确；
由奇函数的定义知③正确；
由奇、偶函数的运算性质知④正确．
答案：③④
8．已知函数f(x)＝是奇函数，则实数b＝________.
解析：方法一(定义法) 因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
整理得＝－，
所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，
解得b＝0.
方法二(赋值法) 因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
即＝－，
解得b＝0.
方法三(赋值法) 因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，
所以f(0)＝0，即＝0，
解得b＝0.
答案：0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
解析：(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二(根据图象进行判断)
f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图象如图：
[能力提升](20分钟，40分)
11．定义两种运算：a?b＝，a?b＝，则函数f(x)＝为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数且为偶函数
D．非奇函数且非偶函数
解析：由定义知
f(x)＝＝，
由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，
得－2≤x<0或0
即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0f(x)＝＝－，
f(－x)＝－＝－f(x)．
故f(x)是奇函数．故选A.
答案：A
12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．
解析：∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
则f(|x|)＝f(x)，
不等式f(m－1)>f(m＋1)可化为f(|m－1|)>f(|m＋1|)，
又∵f(x)在(0,2]上为增函数，
∴
解得－1≤m<0.
答案：[－1,0)
13．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
综合f(x)的图象知
所以114．已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解析：(1)因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
则f(0)＝0，得b＝0.
又因为f＝，
则＝?a＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.
课件35张PPT。1.3.2 奇偶性
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.奇函数、偶函数的概念
b
b
2.奇函数、偶函数的性质
c
c
知识导图
学法指导
1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．
2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．
3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.
知识点 奇、偶函数
1．偶函数的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．( )
(2)奇函数的图象关于y轴对称．( )
(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( )
(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
答案：C
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )
A．－2 B．2 C．0 D．不能确定
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
答案：B
4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
答案：(2)(4) (1)(3)
类型一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【解析】 (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝即f(－x)＝
于是有f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．
方法归纳
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．
即有－1≤x≤1且x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
根据函数奇偶性定义判断．
类型二 函数奇偶性的图象特征
例2
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．
【解析】 由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2【答案】 {x|－2根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．
方法归纳
根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．
跟踪训练2
如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解析：方法一 因函数f(x)是偶函数，
所以其图象关于y轴对称，补全图如图．
由图象可知f(1)方法二 由图象可知f(－1)又函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(1)方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小；
方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．
类型三 利用函数奇偶性求参数
例3 (1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；
(2)已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知
f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得
f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
(2)(特值法) 由f(x)为奇函数，
得f(－1)＝－f(1)，
即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)，
整理得a－1＝0，解得a＝1.
【答案】 (1)－1 (2)1
利用定义法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．
方法归纳
由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，
即－＝0，解得b＝0.
(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，
所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.
即2ax2＝0，所以a＝0.
答案：(1) 0 (2)0
(1)函数具有函偶性，定义域必须关于(0,0)对称．
(2)f(0)＝0？
类型四 函数的奇偶性和单调性的综合应用
例4 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)，在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
【解析】 ∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0可化为f(1－x)<－f(1－3x)，
即f(1－x)又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴f(1－x)∴0即不等式x解集为.
(1)由奇函数得f(－x)＝－f(x)．
(2)函数单调递减，若f(x1)x2.
(3)定义域易忽略．
方法归纳
1．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练4 (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；
(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
(1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．
(2)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
解析：选项A中的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除；选项C，D中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B中的函数图象关于y轴对称，是偶函数，故选B.
答案：B
4．下列四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－a，f(a))．
表述正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：偶函数的图象一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图象与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f(x)＝是奇函数，从而可知②是错误的．
若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象上，则点(－a，－f(a))也在其图象上，故④是错误的．
答案：A
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：由图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，则k等于________．
解析：由于函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，因此k－1＝0，k＝1.
答案：1
7．给出下列四个函数的论断：
①y＝－|x|是奇函数；
②y＝x2(x∈(－1,1])是偶函数；
③y＝－是奇函数；
④若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内f(x)·g(x)为奇函数．
其中正确的有________．(把所有正确论断的序号全填上)
解析：由奇、偶函数的定义知y＝－|x|为偶函数，故①不正确；
注意到函数y＝x2(x∈(－1,1])的定义域不关于原点对称，可知它既不是奇函数也不是偶函数，故②不正确；
由奇函数的定义知③正确；
由奇、偶函数的运算性质知④正确．
答案：③④
8．已知函数f(x)＝是奇函数，则实数b＝________.
解析：方法一(定义法) 因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
整理得＝－，
所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，
解得b＝0.
方法二(赋值法) 因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
即＝－，
解得b＝0.
方法三(赋值法) 因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，
所以f(0)＝0，即＝0，
解得b＝0.
答案：0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
解析：(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二(根据图象进行判断)
f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图象如图：
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11．定义两种运算：a?b＝，a?b＝，则函数f(x)＝为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数且为偶函数
D．非奇函数且非偶函数
解析：由定义知
f(x)＝＝，
由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，
得－2≤x<0或0即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0f(x)＝＝－，
f(－x)＝－＝－f(x)．
故f(x)是奇函数．故选A.
答案：A
12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．
解析：∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
则f(|x|)＝f(x)，
不等式f(m－1)>f(m＋1)可化为f(|m－1|)>f(|m＋1|)，
又∵f(x)在(0,2]上为增函数，
∴
解得－1≤m<0.
答案：[－1,0)
13．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
综合f(x)的图象知
所以114．已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解析：(1)因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
则f(0)＝0，得b＝0.
又因为f＝，
则＝?a＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.
