[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知f(x－1)＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝.
答案：C
2．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．
答案：B
3．将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2(x＋2)2－6 B．y＝2x2－6
C．y＝2x2 D．y＝2(x＋2)2
解析：根据函数图象的平移原则——“左加右减，上加下减”，可知平移后的图象对应的解析式为y＝2[(x－1)＋1]2－3＋3＝2x2.
答案：C
4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2
C．3 D．4
解析：∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.
答案：A
5．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
解析：因为g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
所以令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.所以g(x)＝2x－1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________.
解析：由图象可知f(0)＝4，f(4)＝2，f[f(0)]＝2.
答案：2
7．已知x≠0，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)＝________.
解析：f＝x2＋＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2.
答案：x2＋2
8．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，求f的值．
解析：由f(3)＝1得＝1，
故f＝f(1)＝2.
10．已知函数f(x)＝x2＋px＋q且满足f(－1)＝f(2)＝0，求函数f(x)的解析式．
解析：因为f(－1)＝f(2)＝0，所以有
解得
故f(x)＝x2－x－2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：因为是大于6而非大于等于6，故要加3.
答案：B
12．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.
解析：∵f(x)－f(－x)＝2x，
∴
得
相加得f(2)＝4，f(2)＝.
答案：
13．作出下列函数的图象并写出其值域：
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解析：(1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(2)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
14．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解析：因为f(2)＝1，所以＝1，
即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
课件28张PPT。第1课时 函数的表示法
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是( )
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
答案：B
2．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0?a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0?a＝－3，符合题意．
答案：A
3．函数y＝x＋的图象是( )
解析：y＝x＋＝
答案：D
4．下列各对应中，构成映射的是( )
解析：选项A，C中集合A中的元素1，在集合B中有2个元素与之对应；选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D项符合映射的定义．故选D.
答案：D
5．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
解析：当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝________.
解析：因为1>0，所以f(1)＝2×1＝2；因为－1<0，所以f(－1)＝(－1)2－2＝－1.故f(1)＋f(－1)＝2＋(－1)＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
解析：当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－x，
故f(x)的解析式为
f(x)＝
答案：f(x)＝
8．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2，
所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
10．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解析：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
[能力提升](20分钟，40分)
11．a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝( )
A．－2 B．0 C．2 D．±2
解析：由题意知M中元素只能对应0,1只能对应a，所以＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2，故选C.
答案：C
12．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，则B中至少有________个元素．
解析：根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．
答案：3
13．画出下列函数的图象：
(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；
(2)f(x)＝|x＋2|.
解析：(1)f(x)＝[x]＝函数图象如图1所示．
图1 图2
(2)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞]上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．
14．已知函数f(x)＝
(1)求f，f(f(－1))的值；
(2)若f(a)>2，求a的取值范围．
解析：(1)因为函数
f(x)＝
所以f＝＋5，
f(－1)＝3×(－1)＋5＝2，
f(f(－1))＝f(2)＝－2×2＋8＝4.
(2)因为f(a)>2，
所以当a≤0时，f(a)＝3a＋5>2，
解得a>－1，所以－1
当02，
解得a>－3，所以0当a>1时，f(a)＝－2a＋8>2，
解得a<3，所以1综上，a的取值范围是(－1,3).
课件22张PPT。1.2.2 函数的表示法
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.函数的解析法表示
b
b
2.函数的图象法表示
b
c
3.函数的列表法表示
a
a
4.分段函数
b
b
,
知识导图
学法指导
1.函数的三种表示法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，从不同的侧面认识函数的本质．
2．学习分段函数，要结合实例体会概念，还要注意书写规范．
第1课时 函数的表示法
,知识点 函数的表示法
三种表示方法的优缺点比较
优点
缺点
解
析
法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列
表
法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图
象
法
直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.
答案：D
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．3x＋2 B．3x＋1
C．3x－1 D．3x＋4
解析：方法一 令2x＋1＝t，则x＝.
∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
方法二 ∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
答案：A
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________．
当g(f(x))＝2时，x＝________.
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1 1
类型一 函数的表示方法
例1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f[f(x)]>f(3)的x的值为________.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
【解析】 (1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
(2)由表格可知f(3)＝1，故f[f(x)]>f(3)即为f[f(x)]>1.
∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.
【答案】 (1)D (2)3或1
(1)由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律．
(2)观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较．
方法归纳
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解析：(1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．
类型二 求函数的解析式
例2 根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f＝，求f(x)；
(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．
【解析】 (1)设t＝，则x＝(t≠0)，代入f＝，
得f(t)＝＝，故f(x)＝(x≠0且x≠±1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.
所以解得
所以f(x)＝－x2＋x－3.
(1)换元法：设＝t，注意新元的范围．
(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.
跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)
(2)2x－或－2x＋1
(1)换元法：设x2＋2＝t.
(2)待定系数法：设f(x)＝ax＋b.
类型三 函数的图象
例3 作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
【解析】 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示.
(1)定义域x∈Z.
(2)二次函数的图象既要找到几个关键点，又要注意定义域x∈[0 ,3)．
方法归纳
作函数图象的基本步骤
(1)列表：取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示；
(2)描点：在平面直角坐标系中描出表中相应的点；
(3)连线：用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象．
跟踪训练3 作出下列函数的图象：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3；
(3)y＝|1－x|.
解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．
(2)由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．
(3)因为y＝|1－x|＝故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．
先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)．
关键是根据x的取值去绝对值．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知f(x－1)＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝.
答案：C
2．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．
答案：B
3．将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2(x＋2)2－6 B．y＝2x2－6
C．y＝2x2 D．y＝2(x＋2)2
解析：根据函数图象的平移原则——“左加右减，上加下减”，可知平移后的图象对应的解析式为y＝2[(x－1)＋1]2－3＋3＝2x2.
答案：C
4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2
C．3 D．4
解析：∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.
答案：A
5．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
解析：因为g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
所以令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.所以g(x)＝2x－1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________.
解析：由图象可知f(0)＝4，f(4)＝2，f[f(0)]＝2.
答案：2
7．已知x≠0，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)＝________.
解析：f＝x2＋＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2.
答案：x2＋2
8．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，求f的值．
解析：由f(3)＝1得＝1，
故f＝f(1)＝2.
10．已知函数f(x)＝x2＋px＋q且满足f(－1)＝f(2)＝0，求函数f(x)的解析式．
解析：因为f(－1)＝f(2)＝0，所以有
解得
故f(x)＝x2－x－2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：因为是大于6而非大于等于6，故要加3.
答案：B
12．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.
解析：∵f(x)－f(－x)＝2x，
∴
得
相加得f(2)＝4，f(2)＝.
答案：
13．作出下列函数的图象并写出其值域：
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解析：(1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(2)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
14．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解析：因为f(2)＝1，所以＝1，
即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
第2课时 分段函数与映射
知识点一 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
知识点二 映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．,
映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( )
(2)分段函数由几个函数构成．( )
(3)函数f(x)＝是分段函数．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．0 B.
C．1 D．2
解析：f(2)＝＝1.
答案：C
3．若f(x)＝且f(x)＝1，则x＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：当x≥0时，f(x)＝1?x＝1，当x<0时，f(x)＝1?－x＝1，即x＝－1.
答案：C
4．若A为含三个元素的数集，B＝{－1,3,5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于( )
A．{－1,2,3} B．{－1,0,2}
C．{0,2,3} D．{0,1,2}
解析：由映射的概念，A中元素在关系x→2x－1下，成为－1,3,5，则A＝{0,2,3}．
答案：C
类型一 求分段函数的函数值,,例1 (1)设f(x)＝则f＝( )
A. B. C．－ D.
(2)已知f(n)＝则f(8)＝________.
【解析】 (1)∵f＝－2＝－，∴f＝f＝＝，故选B.
(2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．
因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，
故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
【答案】 (1)B (2)7
判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．
方法归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
跟踪训练1 已知f(x)＝求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，
∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
根据不同的取值代入不同的解析式．
类型二 分段函数的图象及应用
例2 (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示该函数；
②画出该函数的图象；
③写出该函数的值域．
【解析】 (1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．
(2)①当0≤x≤2时，
f(x)＝1＋＝1，
当－2∴f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示．
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
【答案】 (1)[－1,2] [－1,1) (2)见解析
观察图象，求出定义域，值域．
去绝对值，分－2方法归纳
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练2 函数y＝的图象的大致形状是( )
解析：因为y＝＝所以函数的图象为选项A.
答案：A
方法一 去绝对值，化为分段函数，画出函数图象．
方法二 通过函数图象过的特殊点，如(1,1)，(－1,1)进行检验．
类型三 映射的概念
例3 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.
【解析】 (1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0?B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．
(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}?B，符合映射定义.
依据映射的概念逐一判断．
方法归纳
判断一个对应是否为映射的两个关键点
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；
(2)B中的对应元素是否是唯一的．
[注意] “一对一”或“多对一”的对应都是映射．
跟踪训练3 (1)下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x| B．A＝{x|x≥0}，B＝{x|y>0}，f：x→y＝
C．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1| D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2
(2)给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下(4,3)的原象为( )
A．(2,1) B．(4,3) C．(3,4) D．(10,5)
解析：(1)A中当x＝0时，y＝0?B，同理B错．C中，当x＝1时，y＝0?B，故C不正确；由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，故D正确．
(2)由题意知解得
∴映射f下(4,3)的原象为(2,1)．
答案：(1)D (2)A
利用对应法则．
f(x，y)→(x＋2y，2x－y)
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是( )
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
答案：B
2．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0?a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0?a＝－3，符合题意．
答案：A
3．函数y＝x＋的图象是( )
解析：y＝x＋＝
答案：D
4．下列各对应中，构成映射的是( )
解析：选项A，C中集合A中的元素1，在集合B中有2个元素与之对应；选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D项符合映射的定义．故选D.
答案：D
5．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
解析：当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝________.
解析：因为1>0，所以f(1)＝2×1＝2；因为－1<0，所以f(－1)＝(－1)2－2＝－1.故f(1)＋f(－1)＝2＋(－1)＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
解析：当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－x，
故f(x)的解析式为
f(x)＝
答案：f(x)＝
8．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2，
所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
10．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解析：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
[能力提升](20分钟，40分)
11．a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝( )
A．－2 B．0 C．2 D．±2
解析：由题意知M中元素只能对应0,1只能对应a，所以＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2，故选C.
答案：C
12．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，则B中至少有________个元素．
解析：根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．
答案：3
13．画出下列函数的图象：
(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；
(2)f(x)＝|x＋2|.
解析：(1)f(x)＝[x]＝函数图象如图1所示．
图1 图2
(2)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞]上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．
14．已知函数f(x)＝
(1)求f，f(f(－1))的值；
(2)若f(a)>2，求a的取值范围．
解析：(1)因为函数
f(x)＝
所以f＝＋5，
f(－1)＝3×(－1)＋5＝2，
f(f(－1))＝f(2)＝－2×2＋8＝4.
(2)因为f(a)>2，
所以当a≤0时，f(a)＝3a＋5>2，
解得a>－1，所以－1当02，
解得a>－3，所以0当a>1时，f(a)＝－2a＋8>2，
解得a<3，所以1综上，a的取值范围是(－1,3).
