2.1.2 指数函数及其性质
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.指数函数的概念
b
b
2.指数函数的图象
c
c
3.指数函数的性质
c
c
4.利用函数图象解决问题
c
c
知识导图
学法指导
1.明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式．
2．借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方法解决有关问题．
3．在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题．
第1课时 指数函数及其性质
知识点一 指数函数的定义
函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．
指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
知识点二 指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，
则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
答案：B
4．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝( )
A．? B．{x|0C．{x|1解析：依据函数y＝2x是增函数，可得B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，则A∩B＝{x|2答案：D
类型一 指数函数概念的应用
例1 (1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．
【解析】 (1)由指数函数的定义得解得a＝2.
(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
【答案】 (1)C (2)64
(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.
(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2，)求a，最后求值．
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝x ④y＝xx ⑤y＝3－ ⑥y＝x.
解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：(1)(－∞，1)∪ (2)③
(1)指数函数系数为1.
(2)底数>0且≠1.
类型二 指数函数的图象问题
例2 (1)如图所示是下列指数函数的图象：
①y＝ax ②y＝bx
③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aC．1(2)当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．
【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
(2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
【答案】 (1)B (2)(3，－1)
(1)先由a>1,0(2)由y＝ax过定点(0,1)来求f(x)过定点．
方法归纳
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
跟踪训练2 (1)已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
(2)若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
解析：(1)由于0(2)∵a>1，且－1答案： (1)C (2)A,
由底数的范围判断函数图象．
类型三 指数函数的定义域、值域问题
例3 (1)函数y＝ 的定义域是( )
A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－2]
(2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
【解析】 (1)由题意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指数函数y＝x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.
(2)由f(x)的图象过点(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正确．
【答案】 (1)C (2)C
(1)首先根式有意义，然后根据函数的单调性解指数不等式．
(2)根据函数的单调性求值域．
方法归纳
(1)对于y＝af(x)这类函数，
①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
②值域问题，应分以下两步求解：
ⅰ由定义域求出u＝f(x)的值域；
ⅱ利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得此函数的值域．
(2)对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数，
①定义域是R.
②值域可以分以下两步求解：
ⅰ设t＝ax，求出t的范围；
ⅱ利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．
跟踪训练3 (1)求函数y＝的定义域与值域．
(2)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a.
解析：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，≥0，又因为0<<1，所以y＝的值域为{y|0(2)①若a＞1，则f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)．
②若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a的值为或.
(1)偶次根式被开方数大于等于0.
(2)先判断函数单调性，再求最值.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为( )
A．2 B．－2
C．－2 D．2
解析：∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8.
∴f(x)＝8x，f＝8＝2.
答案：D
2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.
答案：A
3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A. B．[－1,1]
C. D．[0,1]
解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C.
答案：C
4．如果指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的单调减函数，那么a的取值范围是( )
A．a<2 B．a>2
C．1解析：由题意知0答案：C
5．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是( )
解析：需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________.
解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
因为f(x)过点，
所以＝a－2，
所以a＝4.
所以f(x)＝4x，
所以f＝4－＝.
答案：
7．函数f(x)＝的值域为________．
解析：由1－ex≥0得，ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以0答案：[0,1)
8．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(1,5)．
答案：(1,5)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
10．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝
解析：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.
故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．函数y＝ax在区间[0,1]上的最大值和最小值的和为3，则函数y＝3ax－1在区间[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．5 D.
解析：由于函数y＝ax在[0,1]上为单调函数，
所以有a0＋a1＝3，即a＝2.
所以函数y＝3ax－1，即y＝6x－1在[0,1]上单调递增，其最大值为y＝6×1－1＝5.故选C.
答案：C
12．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．
解析：因为2x＝a－1有负根，
所以x<0，
所以0<2x<1.
所以0所以1答案：(1,2)
13．求函数y＝x－3×x＋2，x∈[－2,2]的值域．
解析：y＝x－3×x＋2＝2x－3×x＋2，令t＝x，则y＝t2－3t＋2＝2－.
∵x∈[－2,2]，∴≤t＝x≤4，当t＝时，ymin＝－；当t＝4时，ymax＝6.
∴函数y＝x－3×x＋2，x∈[－2,2]的值域是[－，6]．
14．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解析：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.
又a>1，∴a＝；
当0∴
即解得a∈?.
综上所述，实数a的值为.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于下列说法：
(1)零和负数没有对数；
(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以10为底的对数叫做自然对数；
(4)以e为底的对数叫做常用对数．
其中错误说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N?x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．
答案：C
2．将－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．log9＝－2
C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝
解析：根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
答案：B
3．若loga2b＝c则( )
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
解析：loga2b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b.
答案：B
4．3－27－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0
C．1 D．6
解析：3log34－27－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.
答案：B
5．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3 B.
C．9 D.
解析：由已知得am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求下列各式的值：
(1)log636＝________；
(2)ln e3＝________；
(3)log50.2＝________；
(4)lg 0.01＝________.
解析：(1)log636＝2.
(2)ln e3＝3.
(3)log50.2＝log55－1＝－1.
(4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2.
答案：(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2
7．计算： ＋ln e2＝________.
解析：＋ln e2＝π－3＋2＝π－1.
答案：π－1
8．10lg 2－ln e＝________.
解析：ln e＝1，
所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1
＝2×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)log27＝－3；
(3)logx＝6; (4)43＝64；
(5)3－2＝； (6)－2＝16.
解析：(1)24＝16；(2)－3＝27；
(3)()6＝x；(4)log464＝3；
(5)log3＝－2；(6)log16＝－2.
10．计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log3 2；
(2)3log34－lg 10＋2ln 1.
解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式＝3log34－1＋20
＝3log34÷31＋1
＝＋1＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知f(2x＋1)＝，则f(4)等于( )
A.log25 B.log23
C. D.
解析：令2x＋1＝4，得x＝log23，
所以f(4)＝log23，选B.
答案：B
12．若log(x－1)(3－x)有意义，则x的取值范围是________．
解析：由已知得
解得1即x的取值范围是(1,2)∪(2,3)．
答案：(1,2)∪(2,3)
13．求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lgx)＝1；
(3)5＝x；
(4) (a)＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
解析：(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2.∴x＝102＝100.
(3)x＝5＝＝.
(4)x＝(a)＝b＝c.
14．计算下列各式：
(1)10lg 3－()＋eln 6；
(2)2＋3.
解析：(1)原式＝3－()0＋6
＝3－1＋6
＝8.
(2)原式＝22÷2＋3－2·3
＝4÷3＋×6
＝＋
＝2.
课件20张PPT。
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若a>0，a≠1，x>y>0，下列式子：
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．
答案：A
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
解析：log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.
答案：C
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.
答案：C
4．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3 B．9
C．18 D．27
解析：原式可化为log8m＝，＝，
即lg m＝，lg m＝lg 27，m＝27.故选D.
答案：D
5．若lg x＝m，lg y＝n，则lg－lg2的值为( )
A.m－2n－2 B.m－2n－1
C.m－2n＋1 D.m－2n＋2
解析：因为lg x＝m，lg y＝n，所以lg－lg2＝lg x－2lg y＋2＝m－2n＋2.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
答案：4 －3
7．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
解析：由换底公式，
得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
答案：
8.·(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝×lg＝·lg 24＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋21＋log25.
解析：(1)方法一 (正用公式)：
原式＝
＝＝.
方法二 (逆用公式)：
原式＝
＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2log2＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2.
10．计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
解析：(1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝
＝log32×log23＝××＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．设9a＝45，log95＝b，则( )
A．a＝b＋9 B．a－b＝1
C．a＝9b D．a÷b＝1
解析：由9a＝45得a＝log945＝log99＋log95＝1＋b，即a－b＝1.
答案：B
12．设4a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝________.
解析：由4a＝5b＝m，得a＝log4m，b＝log5m，
所以logm4＝，logm5＝，
则＋＝logm4＋logm5＝logm10＝1，
所以m＝10.
答案：10
13．求下列各式的值：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解析：(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64
＝÷2log62
＝[(log62)2＋(log62)2＋2·log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.
14．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
解析：由logza＝24得logaz＝，
由logya＝40得logay＝，
由log(xyz)a＝12得loga(xyz)＝，
即logax＋logay＋logaz＝.
所以logax＋＋＝，
解得logax＝，所以logxa＝60.
课件29张PPT。第2课时 指数函数及其性质的应用
[小试身手]
1．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.
答案：D
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
3．已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )
解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝x与y3＝10－x＝x单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝x与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.
答案：A
4．函数y＝2的值域为________．
解析：令u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝2u≥2－1＝，
所以y＝2的值域为.
答案：
类型一 利用指数函数单调性比较大小
例1 (1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
(2)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的关系为( )
A．m＋n＜0 B．m＋n＞0 C．m＞n D．m＜n
【解析】 (1)a＝0.771.2,0＜a＜1，b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b.
(2)因为0＜＜1，所以f(x)＝ax＝x在R上单调递减，
又因为f(m)＞f(n)，所以m＜n，故选D.
【答案】 (1)C (2)D
要比较大小，由指数函数的单调性入手．也可找中间量来比较．
方法归纳
比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(1)－1.8与－2.5；
(2)－0.5与－0.5；
(3)0.20.3与0.30.2.
解析：(1)因为0<<1，所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5>－0.5.
(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
类型二 解简单的指数不等式
例2 (1)不等式3x－2＞1的解为________；
(2)若ax＋1＞5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】 (1)3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解为(2，＋∞)．
(2)因为ax＋1＞5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
【答案】 (1)(2，＋∞) (2)见解析
首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练2 (1)解不等式≤3；
(2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．
解析：(1) ＝(3－1) ＝3，
∴原不等式等价于 3≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x>1－x，解得x>.
∴x的取值范围是.
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．,
类型三 指数函数性质的综合应用
例3 已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
【解析】 (1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1则f(x1)－f(x2)＝＝.
因为x1所以2－2<0，
又(1＋2)(1＋2)>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝－＝，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
(1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；
③定号；④结论 .
(2)先由f(x)为奇函数求a，再由单调性求最小值．
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练3 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x2，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝2＋－＝(2－2)＋＝(2－2)＋＝(2－2)＝(2－2)·，
因为x1所以2<2，2 >1，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞)．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
解析：因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，所以0.43<π0<30.4，故选B.
答案：B
2．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x>0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D.
答案：D
3．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是( )
解析：由1＞n＞m＞0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n＞m可知应选C.
答案：C
4．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
答案：B
5．设x＞0，且1＜bx＜ax，则( )
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.
∵bx＜ax，∴x＞1，又x＞0，∴＞1，
∴a＞b，即1＜b＜a.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．三个数，，中，最大的是________，最小的是________．
解析：因为函数y＝x在R上是减函数，
所以>，
又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方，
所以>.即>>.
答案：
7．函数y＝的单调增区间是________．
解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.
当x≤2时，t随x增大而减小，
则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
8．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)>f(－3)，
∴－2>－3，即a2>a3.
∴a<1，即0答案：(0,1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1与1.8－0.2；
(2)1.90.3与0.73.1；
(3)a1.3与a2.5(a>0，且a≠1)．
解析：(1)由于1.8>1，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数．所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1,0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3当0a2.5.
故当0a2.5，当a>1时，a1.310．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式2x>2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解析：由≥0，解得x≤－2或x>1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x>2－a－x?2x>a＋x?2x因为A∩B＝B，所以B?A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
解析：对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.
由于指数函数是单调函数，则有a2＞1，即a＞1.
所以函数f(x)的图象是上升的，且在x轴上方，结合选项可知B正确．
答案：B
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
解析：设x<0，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1，当x>0时，1－2－x∈(0,1)，所以不等式f(x)<－，即当x<0时，2x－1<－，解得x<－1.
答案：(－∞，－1)
13．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解析：分情况讨论：
①当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
∴a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
②当a＞1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，
∴a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．若f(x)的图象如图所示，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式f(x)≥2.
解析：(1)由图象得，点(1,0)，(0，－1)在函数f(x)的图象上，所以
解得
∴f(x)＝2x－2.
(2)f(x)＝2x－2≥2，
∴2x≥4，∴x≥2.
∴不等式的解集为[2，＋∞)．
