[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．
答案：C
2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为( )
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，
所以x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，故①错误；②由于x0两侧函数值不一定异号，故②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，故③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故④错误．故选A.
答案：A
3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.
答案：D
4．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由<0.01，得2n>10，
所以n的最小值为4.故选B.
答案：B
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析：由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
解析：由二分法的定义，根据f(0)f(2)<0，f(0)·f(x1)<0，
故零点所在区间可以为(0，x1)．
答案：(0，x1)
7．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________．
解析：由题意知只要满足，即可解得
0答案：(0,3)
8．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取2.25.
10．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．
解析：令f(x)＝ln x－，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln>ln 1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－＝(ln 1.53－2)．
因为1.53＝3.375，e2>4>1.53，
故f(1.5)＝(ln 1.53－2)<(ln e2－2)＝0，
f(1.5)f(2)<0，下一个有根区间是[1.5,2]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(1,2)或(2,3) D．不能确定
解析：因为f(1)＝31＋3×1－8＝－2<0，f(3)＝33＋3×3－8＝28>0，f(2)＝32＋3×2－8＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，
所以f(x)＝0的下一个有根的区间为(1,2)．
答案：A
12．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
13．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
解析：
函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，得x5＝x＋1.
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1个交点．
F(1)＝1－1－1＝－1<0
F(2)＝25－2－1>0
∴F(x)＝x5－x－1的零点区间为(1,2)．
14．求的近似值(精确度0.1)．
解析：令＝x，则x3＝3；令f(x)＝x3－3，则就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．列表如下：
端点(中点)
中点函数近似值
区间
f(1)＝－2<0
f(2)＝5>0
(1,2)
x1＝＝1.5
f(x1)＝0.375>0
(1,1.5)
x2＝＝1.25
f(x2)≈－1.047<0
(1.25,1.5)
x3＝＝1.375
f(x3)≈－0.4<0
(1.375,1.5)
x4＝＝1.437 5
f(x4)≈－0.03<0
(1.437 5,1.5)
由于|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以的近似值可取为1.437 5.
课件22张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.二分法
a
a
2.利用二分法求方程的近似解
a
a
知识导图
学法指导
1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，且该零点为变号零点．
2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响.
知识点 用二分法求方程的近似解
1．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
第二步：求区间(a，b)的中点c.
第三步：计算f(c)．
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，
则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，
则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )
(3)精确度ε就是近似值．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
答案：C
3．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.6 B．0.75
C．0.7 D．0.8
解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．
又0.68＝，且f(0.68)<0，
所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.
答案：C
4．已知函数y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点所在的区间为________．
解析：∵f(2)·f(3)<0，∴零点在区间(2,3)内．
答案：(2,3)
类型一 二分法概念的理解
例1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝x－x
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【解析】 (1)
A
×
解方程x＋7＝0，得x＝－7
B
×
解方程5x－1＝0，得x＝0
C
×
解方程log3x＝0，得x＝1
D
√
无法通过方程x－x＝0得到零点
(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
【答案】 (1)D (2)B
(1)在无法通过解方程f(x)＝0求出方程根的情况下，需用二分法求函数的零点．
(2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号．
方法归纳
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练1 用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．
答案：(1,2)
先构建函数f(x)＝2x＋3x－7，再判断f(1)，f(2)，f(3)的符号，寻找函数值与f(2)异号的自变量．
类型二 用二分法求函数零点的近似值
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
【解析】 经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)，
如此继续下去，如下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75)
1.328 125
0.01
(1.312 5,1.328 125)
1.320 312 5
－0.02
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
方程x3－x－1＝0的正解对应函数f(x)＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解．
方法归纳
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
跟踪训练2 利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．
【解析】 设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.
取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴x0∈(2,2.5)．
再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴x0∈(2.25,2.5)．
同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.
本题用求根公式可以求得x1＝1＋，x2＝1－，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．
答案：C
2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为( )
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，
所以x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，故①错误；②由于x0两侧函数值不一定异号，故②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，故③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故④错误．故选A.
答案：A
3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.
答案：D
4．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由<0.01，得2n>10，
所以n的最小值为4.故选B.
答案：B
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析：由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
解析：由二分法的定义，根据f(0)f(2)<0，f(0)·f(x1)<0，
故零点所在区间可以为(0，x1)．
答案：(0，x1)
7．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________．
解析：由题意知只要满足，即可解得
0答案：(0,3)
8．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取2.25.
10．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．
解析：令f(x)＝ln x－，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln>ln 1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－＝(ln 1.53－2)．
因为1.53＝3.375，e2>4>1.53，
故f(1.5)＝(ln 1.53－2)<(ln e2－2)＝0，
f(1.5)f(2)<0，下一个有根区间是[1.5,2]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(1,2)或(2,3) D．不能确定
解析：因为f(1)＝31＋3×1－8＝－2<0，f(3)＝33＋3×3－8＝28>0，f(2)＝32＋3×2－8＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，
所以f(x)＝0的下一个有根的区间为(1,2)．
答案：A
12．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
13．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
解析：
函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，得x5＝x＋1.
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1个交点．
F(1)＝1－1－1＝－1<0
F(2)＝25－2－1>0
∴F(x)＝x5－x－1的零点区间为(1,2)．
14．求的近似值(精确度0.1)．
解析：令＝x，则x3＝3；令f(x)＝x3－3，则就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．列表如下：
端点(中点)
中点函数近似值
区间
f(1)＝－2<0
f(2)＝5>0
(1,2)
x1＝＝1.5
f(x1)＝0.375>0
(1,1.5)
x2＝＝1.25
f(x2)≈－1.047<0
(1.25,1.5)
x3＝＝1.375
f(x3)≈－0.4<0
(1.375,1.5)
x4＝＝1.437 5
f(x4)≈－0.03<0
(1.437 5,1.5)
由于|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以的近似值可取为1.437 5.
