人教版数学初中八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题15.1 分式（含答案解析）

知识
1．分式的概念
（1）分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做__________．
（2）一个式子是分式需满足的三个条件：
①是形如的式子；
②A，B为__________式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
【注意】（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
2．分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于__________．
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0．
【注意】（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．
（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了．
3．分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且__________不等于0时，分式的值为0．
分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．
【拓展】对于分式，（1）若的值为正数，则或；（2）若的值为负数，则或；（3）若的值为1，则A=B且B≠0；（4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0．
4．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值__________．
用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．
分式的基本性质是分式变形的理论依据．
【注意】①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．
用式子表示为：
或
5．约分、最简分式
（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的__________．
（1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做__________．
【归纳】（1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式．
（2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．
（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．
（4）约分的结果是整式或最简分式．
（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．
6．通分
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的__________．
约分与通分的联系与区别：
（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值．
（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．
（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做__________．
【注意】（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．
确定最简公分母的方法：
（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．
通分的步骤：（1）求各分式的最简公分母；
（2）用这个最简公分母除以分式的分母；
（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．
知识参考答案：
1．分母，整 2．0 3．分母 4．不变 5．约分，最简分式 6．通分，最简公分母
重点
重点
分式有意义、无意义的条件，分式的值为0的条件，分式的基本性质，约分与通分
难点
分式的通分
易错
分式的值为0时，忽视分母不等于0
一、分式的概念
判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，
与分子中的字母无关．比如，就是分式．
【例1】在、、、、、中，分式的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
二、分式有意义、无意义的条件
要确定分式是否有意义，就要分析、讨论分母中字母的取值，看分母的值是否为0．
【例2】若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
A．x>-2 B．x<-2 C．x=-2 D．x≠-2
【答案】D
【解析】∵代数式在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x≠-2，故选D．
三、分式的值为0的条件
求解分式的值为0的条件的题目时，首先求出使分式的分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否是
分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值，使分母为0的值必须舍去．
【例3】要使分式为零，那么x的值是
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【解析】由题意得：且，解得，故选A．
四、分式的基本性质
运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变换，它不改变分式值的大小，只改变其形式．
【例4】下列各式的变号中，正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【例5】将代数式的分子，分母都扩大5倍，则代数式的值
A．扩大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【解析】如果把分式中的x、y的值都扩大5倍可得，则分式的值不变，故选C．
五、约分、最简分式
约分时需要注意的问题：
（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分；
（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a-5与5-a表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（a-5）；
（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．
【例6】下列公式中是最简分式的是
A． B． C． D．
【答案】D
【例7】约分：①__________；②__________．
【答案】；
【解析】①=；②=．故答案为：；．
六、通分、最简公分母
通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．
【例8】分式和的最简公分母是
A．12xyz B． C．24xyz D．
【答案】B
【解析】∵两个分式的分母分别是：6x2y，4xyz，∴最简公分母是12x2yz．故选B．
【例9】把，，通分过程中，不正确的是
A．最简公分母是 B．
C． D．
【答案】D
基础训练
1．式子，，，，中是分式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列分式约分，正确的是
A． B． C． D．
3．下列分式，，，，中，最简分式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各式变形正确的是
A． B．
C． D．
5．张萌将分式进行通分，则这两个分式的最简公分母为
A． B．
C． D．
6．约分：__________．
7．化简：__________．
8．分式与的最简公分母是__________．
9．通分：（1），；
（2），．
10．已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
能力测试
11．化简的结果是
A．-x-y B．y-x C．x-y D．x+y
12．当分式的值为0时，x的值为
A．0 B．3 C．-3 D．±3
13．如果分式的值为0，则x的值应为__________．
14．给定下面一列分式：，，，，根据这列分式的规律，请写出第7个分式__________，第n个分式__________．
15．已知当时，分式无意义：当时，分式的值为零，求的值．
16．若=3，求的值．
真题练习
17．（2019·辽宁葫芦岛）若分式的值为0，则x的值为
A．0 B．1 C．-1 D．±1
18．（2019·浙江宁波）要使分式有意义，x的取值应满足__________．
19．（2019·广西贵港）若分式的值不存在，则x的值为__________．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】根据题意可得：，，，．故选C．
3．【答案】A
【解析】=，=，==b-2，==-1．
所以最简分式共有1个．故选A．
4．【答案】C
【解析】A项，在原分式的分子分母上加上一个整式，等式不一定成立，故A项错误；
B项，由于b的值可能为0，故B项错误；
C项，）成立，故C项正确；
D项，在原分式的分子分母上加上一个整式，等式不一定成立，故D项错误．故选C．
5．【答案】B
【解析】∵两个分式的分母分别是：2x+2y=2（x+y），4x-4y=4（x-y），∴最简公分母是4（x+y）（x-y）．
故选B．
∴，
．
（2）两分式的分母为：、，
∴最简公分母为：，
∴，
．
10．【解析】（1）由题意得，，
解得，且．
（2）由题意得，且，
解得，，
则当时，此分式的值为零．
11．【答案】A
【解析】．故选A．
12．【答案】B
【解析】根据题意得，，解得，x=3．故选B．
∴，解得，
∵时，分式的值为零，
∴，则，
∴，
即的值是6．
16．【解析】∵=3，∴y-x=3xy，∴x-y=-3xy，
∴=．
17．【答案】B
【解析】∵分式的值为零，∴，解得：x=1，故选B．