人教版数学初中八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题15.2 分式的运算（含答案解析）

知识
1．分式的乘除
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的__________，分母的积作为积的__________．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式__________．
用式子表示为
【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．
（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．
（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．
（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．
2．分式的乘方
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别__________．
【注意】（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成．
（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
3．分式的加减
（1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母__________，把分子相加减．
用式子表示为__________．
（2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为__________．
【注意】（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．
（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．
（3）异分母分式相加减的一般步骤：
①通分：将异分母分式转化成同分母分式；
②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；
③合并：分子去括号，合并同类项；
④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．
4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算__________，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．
（2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．
5．整数指数幂与科学记数法
（1）整数指数幂：
若m，n为正整数，a≠0，则．
又因为，所以__________．
一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．
整数指数幂的运算性质
①；②；③；
④；⑤．
上述式子中，m，n均为任意整数．
（2）科学记数法
用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10．
知识参考答案：
1．分子，分母，相乘2．乘方3．不变，，4．加减5．
重点
重点
分式的加减乘除的运算，整数指数幂的运算，科学记数法的应用
难点
分式的混合运算
易错
分式的减法运算中，忽视减号
一、分式的乘除
分式的乘除运算应注意的“四类问题”
（1）理解法则并能正确运用，若是除法运算，则先转化为乘法运算．
（2）分子、分母能分解因式的先分解因式，然后约分．
（3）运算的结果要化为最简分式或整式．（4）自选数值的代入求值问题，不要忽视分母不为0的条件．
【例1】计算的结果是
A． B． C．y D．x
【答案】A
【解析】=，故选A．
【例2】下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【例3】化简是
A．m B．-m C． D．-
【答案】B
【解析】原式．故选B．
二、分式的加减
异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解此类题的关键．在整式与分式进行加减运算时，把整
式看作分母为1的式子，并按照异分母分式相加减的法则完成计算．
【例4】计算的结果为
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】原式=．故选C．
【例5】计算得
A． B．
C． D．2
【答案】D
【解析】====
=2．故选D．
三、分式的混合运算
分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简，注意使用运算律，寻求合理的运算途径.
【例6】化简的结果是
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【解析】===．故选B．
【例7】计算的结果是
A．- B． C．-1 D．1
【答案】A
四、整数指数幂与科学记数法
用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负
几．
【例8】某桑蚕丝的直径用科学记数法表示为1.6×10-5米，则这个数的原数是
A．0.0000016 B．0.000016 C．0.00016 D．0.0016
【答案】B
【解析】根据科学记数法的定义1.6×10-5=0.000016．故选B．
【例9】百合花的花粉的直径约0.000000087米，这里0.000000087用科学记数法表示为
A．8.7×10-7 B．8.7×10-8 C．8.7×10-9 D．0.87×10-8
【答案】B
【解析】．故选B．
【例10】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
五、分式的化简求值
分式化简求值的三种类型
（1）将分式化简后直接代入数据求值．
（2）利用“整体”思想，将式子的值整体代入化简后的式子，再求值．
（3）通过引入参数，以参数为媒介减少字母的个数，实现问题转化的目的．
【例11】先化简，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．
【解析】
=
，
∵，，，
∴取1，代入得：原式．
基础训练
1．-0.00035用科学记数法表示为
A．-3.5×10-4 B．-3.5×104 C．3.5×10-4 D．-3.5×10-3
2．计算（-a）2的结果为
A．b B．-b C．ab D．
3．计算÷的结果是
A．- B．b2x C． D．-
4．化简的结果是
A．-x-1 B．-x+1 C．- D．
5．如果分式，那么A，B的值是
A．A=-2，B=5 B．A=2，B=-3
C．A=5，B=-2 D．A=-3，B=2
6．化简的结果是
A． B． C． D．
7．若=，则++的值为
A． B． C．2 D．4
8．计算：-=__________．
9．计算的值是__________．
10．__________，__________．
11．计算：
（1）；
（2）．
12．先化简，再求值：，其中a=-．
13．已知A=，B=．
（1）计算：A+B和A-B；
（2）若已知A+B=2，A-B=-1，求x、y的值．
能力测试
14．下列各式计算正确的是
A． B．
C． D．
15．分式a-b+的值为
A． B．a+b C． D．以上都不对
16．化简等于
A． B． C． D．
17．化简的结果是__________．
18．若，则__________．
19．计算：+-．
20．已知，求的值．
真题练习
21．（2019·山东淄博）化简的结果为
A． B．a-1 C．a D．1
22．（2019·山东威海）化简（a-1）÷（-1）·a的结果是
A．-a2 B．1 C．a2 D．-1
23．（2018·黑龙江绥化）某种病菌的形状为球形，直径约是，用科学记数法表示这个数为__________．
24．（2019·四川乐山）化简的结果是__________．
25．（2018·湖南益阳）化简：．
26．（2019·甘肃兰州）先化简，再求值：，其中．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】A
【解析】原式=a2·=b，故选A．
3．【答案】A
【解析】，故答案是A选项．故选A．
4．【答案】A
【解析】原式．故选A．
5．【答案】A
【解析】因为=，所以，解得，故选A．
6．【答案】D
【解析】原式．故选D．
7．【答案】B
8．【答案】-
【解析】-==-．故答案为：-．
9．【答案】
【解析】===a-b．故答案为：a-b．
10．【答案】；
【解析】；．故答案为：；．
11．【解析】（1）
=
=
=．
（2）
=
=
=．
12．【解析】．
当时，原式．
13．【解析】（1）∵A=，B=，
14．【答案】D
【解析】A．原式故A错误；
B．原式故B错误；
C．原式，故C错误；
D．正确．故选D．
15．【答案】C
【解析】a-b+==．故选C．
16．【答案】C
【解析】==．故选C．
∴a=5，b=3，
则原式=
=，
当a=5，b=3时，原式=．
21．【答案】B
【解析】原式===a-1．故选B．
22．【答案】A
【解析】原式=（a-1）÷·a=（a-1）··a=-a2，故选A．
23．【答案】
【解析】0.000000102的小数点向右移动7位得到1.02，所以0.000000102用科学记数法表示为，故答案为：．
24．【答案】-1
【解析】==．故答案为：-1．
25．【解析】原式=
=
=x．