人教版数学初中八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题17.2 勾股定理的逆定理（含答案解析）

第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
知识
1．互逆命题与互逆定理
名称
定义
关系
互逆命题
如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__________．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题
（1）命题有真有假，而定理都是真命题；
（2）每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都是逆定理；
（3）互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是真命题
互逆定理
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理
2．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足__________，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理．
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：
①确定三角形的最长边；
②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．
【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角．
（2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”．
3．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，
b，c为一组勾股数．
常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．
勾股数的求法：
（1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．
知识参考答案：
1．互逆命题 2．a2+b2=c2
重点
重点
勾股定理的逆定理及其实际应用
难点
勾股定理逆定理的证明
易错
运用勾股定理的逆定理时，错认最长边
一、互逆命题与互逆定理
1．判断一个命题是真命题需要推理证明，判断一个命题是假命题只需举出一个反例即可；
2．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分命题的题设和结论．
【例1】下列命题中，逆命题是假命题的是
A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【解析】A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；
B、直角三角形两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题．故选A．
二、勾股定理的逆定理
勾股定理与其逆定理的区别：
（1）勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论相反；
（2）勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定．
【例2】 下列各组数是勾股数的是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】C
【名师点睛】本题考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
三、勾股数
一组数是勾股数必须同时满足两个条件：
（1）这三个数都是正整数；
（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可．
【例3】 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：AC2=12+82=65，BC2=42+62=52，AB2=32+22=13，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵BC2=42+62=52，AB2=32+22=13，
∴BC=2，AB=,
∴△ABC的面积=×2×=13．
【名师点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题（1）的关键．
基础训练
1．下列说法中，正确的是
A．每一个命题都有逆命题
B．假命题的逆命题一定是假命题
C．每一个定理都有逆定理
D．假命题没有逆命题
2．下列各组数是勾股数的是
A．3，4，5 B．1.5，2，2.5
C．32，42，52 D．，，
3．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是
A．1.5，2，3 B．5，12，13
C．7，24，25 D．8，15，17
4．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式（a+b）2-c2=2ab，则此三角形是__________三角形．（填“直角”“锐角”或“钝角”）
5．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为__________米．
6．如图，有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________cm（结果不取近似值）．
7．如图，AB⊥BC，，CD=5，AD=3，BC=2，则∠A=__________度．
8．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状．
9．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3 cm，BC=12 cm，CD=13 cm，AD=4 cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？
能力测试
10．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为
A．5 B．6 C．7 D．8
11．下列命题中，逆命题为真命题的是
A．对顶角相等 B．若a=b，则|a|=|b|
C．同位角相等，两直线平行 D．若ac212．如图所示的一块地，∠ADC=90°，，，，，求这块地的面积为
A．54 m2 B．108 m2 C．216 m2 D．270 m2
13．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为__________．
14．已知三角形的三边长分别是m2+1，2m，m2-1（n为正整数），则最大角等于__________度．
15．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为__________．
16．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=4，AC=3，DC=．
（1）求BD的长；
（2）判断△ABC的形状．
真题练习
19．（2018·江苏南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．3，4，5 B．2，3，4
C．4，6，7 D．5，11，12
20．（2018·湖南长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
21．（2018·浙江杭州）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B
∴c2=a2+b2，C
∴△ABC是直角三角形．
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：__________；
（2）错误的原因为：__________；
（3）本题正确的结论为：__________．
参考答案
1．【答案】A
【解析】A．每一个命题都有逆命题，正确；B．假命题的逆命题不一定是假命题，故错误；
C．定理的逆命题不一定正确，故错误；D．所有的命题都有逆命题，故错误．故选A．
3．【答案】A
【解析】A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选A．
4．【答案】直角
【解析】根据（a+b）2-c2=2ab，整理得：，根据勾股定理的逆定理，得：此三角形是直角三角形．故答案为：直角．
5．【答案】15
【解析】如图，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=9 m，OB=12 m，根据勾股定理得AB==
15 m，故答案为：15．
6．【答案】
【解析】如图，过D点作DE∥AB交BC于E，
则△DEC是直角三角形，四边形ABED是矩形，∴AB=DE．∵∠D=120°，∴∠CDE=30°．
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm，根据勾股定理的逆定理得，DE=cm，∴AB=cm．故答案为：．
7．【答案】60
【解析】如图，连接AC，
∵AB⊥BC，∴AC===4，∴∠BAC=30°．∵==25=，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=90°-30°=60°．故答案为：60．
9．【解析】东东的判断不正确，可添加DB⊥BC或DB=5 cm．理由如下：
∵四边形具有不稳定性，
∴∠A可以是锐角，可以是直角，也可以是钝角，
∴东东的判断不正确．
如果添加DB⊥BC或DB=5 cm，那么∠A恰好是直角．
当BD⊥BC时，∵BC=12 cm，CD=13 cm，
∴，
在△ABD中，AB=4 cm，AD=3 cm，BD=5 cm，
∴，即，
∴△ABD是直角三角形，且，
当DB=5 cm时，在△ABD中，AB=4 cm，AD=3 cm，BD=5 cm，
∴，即，
∴△ABD是直角三角形，且．
10．【答案】A
【解析】∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为．故选A．
11．【答案】C
【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；
B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；
C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，真命题；
D、若ac212．【答案】C
【解析】如图，连接AC，
根据勾股定理，由直角△ACD可以求得斜边AC=15 m，根据AC，BC，AB的长，求它们的平方，根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差S=S△ABC-S△ACD=AC·BC-CD·AD=×15×36-×9×12=270-54=216 m2．故选C．
14．【答案】90
【解析】∵（2m）2+（m2-1）2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1，（m2+1）2=m4+2m2+1，∴（2m）2+（m2-
1）2=（m2+1）2，∴三边长分别是m2+1，2m，m2-1的三角形是直角三角形，则最大角为90°．故答案为：90．
15．【答案】或
【解析】分两种情况：当是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4-1=3，
∴BC；
当是钝角三角形，如图2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC=．综上所述，BC的长为或，故答案为：或．
16．【解析】能检查．
作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3 cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4 cm，确定点B；
（2）连接AB得△PAB；
（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5 cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角．
理由：∵PA=3 cm，PB=4 cm．
若AB=5 cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角．
17．【解析】如图，连接BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∴BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，BD>0，
∴BD=，
在△ABD中，∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6．
∴四边形ABCD的面积是6．
18．【解析】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD=．
（2）∵BC=BD+DC=5，且AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
19．【答案】A
【解析】A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误．故选A．
20．【答案】A
【解析】∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．
21．【解析】（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．