[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2019·衡水检测]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
解析：∵圆心到直线的距离d＝＝<1，直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．
答案：B
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：设所求直线为2x＋y＋c＝0，
则＝，解得c＝±5，故选A.
答案：A
3．[2019·山东校级检测]直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于( )
A. B.
C．2 D.
解析：圆心(－2,2)到直线x－y＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝，解直角三角形得，半弦长为，所以弦长等于.
答案：D
4．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线的方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心．由题意得所求直线过点(2,1)和圆心(1，－2)，∴其方程为＝，整理得3x－y－5＝0.
答案：A
5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离是( )
A．18 B．6
C．5 D．4
解析：由题意得，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则其半径r＝3，圆心(2,2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝＝2，故圆上的点到直线的最大距离是3＋2＝5.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________．
解析：∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为_________________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：
x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
8．过点(5,2)向圆x2＋6x＋y2＋2y＋1＝0引切线，则切线长为________________．
解析：由已知可得，点(5,2)在圆外，则切线长为＝8.
答案：8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．过点P(1，－1)的直线L与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4相切，求切线方程和切线长.
解析：若直线L的斜率存在，设L的方程为y－(－1)＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，
因为直线L与圆相切，所以圆心M到直线L的距离d＝r，即＝2，解得k＝.
若直线L的斜率不存在，则其方程为x＝1，满足要求．
故所求切线方程为21x－20y－41＝0或x＝1.
设其中一个切点为A，则在直角三角形PMA中，有|MP|＝，所以切线长|PA|＝＝5.
10．直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
解析：据题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
方法一 联立方程组消去y，得
(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0.
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)，
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|
＝×4＝2，
∴|OH|＝＝，
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：由点M在圆外，得a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，则直线与圆O相交．
答案：B
12．[2019·江西广昌一中月考]已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于________．
解析：由题可得＝，得a＝－1或a＝－－1(舍去)．
答案：－1
13．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．
解析：解法一 设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦为AB，其中点为C，连接OC，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得＝3，解得k＝±.
解法二 设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦为AB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得，(1＋k2)x2＋12kx＋11＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因此|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝8，解得k＝±.
14．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解析：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
课件30张PPT。4.2.1 直线与圆的位置关系
知识导图
学法指导
1.比较判断直线与圆的位置关系的两种方法——代数法与几何法．
2．体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决一些综合问题．
高考导航
判断直线与圆的位置关系、直线与圆相切的问题及弦长问题是高考考查的热点题型，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.
知识点 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d
d＝r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程，判别式为Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
答案：(1)√ (2)√
2．直线x－3y＋1＝0与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：圆心(0,0)到直线x－3y＋1＝0的距离d＝<，故直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
3．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＋y＝1 D．x－y＝1
解析：方法一 由圆的方程为x2＋y2＝1，可知圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r＝1，
∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x＝1，
方法二 直接应用切线方程的第(1)个结论得，所求切线方程为1·x＋0·y＝12，即x＝1.
答案：A
4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：d＝＝，
所以|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】 有两种方法．
方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，
得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－(1)两方程联立，消元后根据根的判别式Δ的取值情况列等式或不等式(相切?Δ＝0，相离?Δ<0，相交?Δ>0)；
(2)根据圆心到直线的距离d与半径r的关系列等式或不等式(相切?d＝r，相离?d>r，相交?d方法归纳
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．
跟踪训练1 已知直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1，判断它们的位置关系．
解析：解法一 圆x2＋y2＝1的圆心是O(0,0)，半径r＝1，
圆心到直线的距离d＝＝1＝r，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．
解法二 由得25x2－30x＋9＝0，
∵Δ＝(－30)2－4×25×9＝900－900＝0，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．
本题可采用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．
类型二 直线与圆相切问题
例2 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
【解析】 因为(2－1)2＋(3＋2)2>1，所以点P在圆外．
(1)若直线l的斜率存在，
方法一 设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.
所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
方法二 设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
所以Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，所以k＝.
此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．
(2)求过一点的圆的切线方程时，要先检验此点在圆上还是圆外，防止漏解．若此点在圆上，则切线只有一条；若此点在圆外，则切线一定有两条．
方法归纳
求切线方程的常用方法
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．若k＝0或k不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
(1)几何法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出．
(2)代数法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
跟踪训练2 已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，求过点A且与圆O相切的直线方程．
解析：因为12＋22＝5，所以点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，圆心O(0,0)与A(1,2)连线的斜率为kOA＝＝2.
设切线斜率为k，则k＝－＝－，
所以过点A且与圆O相切的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
先判定点A在圆上，求出OA的斜率和切线的斜率，然后求切线的方程．
类型三 直线被圆截得的弦长问题
例3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
【解析】 方法一 设直线l与圆C的交点分别为A，B，则由直线l与圆C的方程，得解得所以交点的坐标为A(1,3)，B(2,0)．
故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝.
方法二 圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径长r＝，圆心到直线l的距离d＝＝.
设直线l与圆C的交点为A，B，则＝＝＝，所以弦长|AB|＝.
弦长问题时常用的方法有两种：一是几何法，即利用圆心到弦的垂线段、半径及半弦构成的直角三角形并结合勾股定理来计算；二是代数法，即利用根与系数的关系和弦长公式来计算．
方法归纳
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
图1 图2
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|
(直线l的斜率k存在)．
几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题．
跟踪训练3 过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
解析：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
解答本题时可设直线的点斜式方程，利用弦心距、半径长、半弦长构成的直角三角形来求解.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2019·衡水检测]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
解析：∵圆心到直线的距离d＝＝<1，直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．
答案：B
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：设所求直线为2x＋y＋c＝0，
则＝，解得c＝±5，故选A.
答案：A
3．[2019·山东校级检测]直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于( )
A. B.
C．2 D.
解析：圆心(－2,2)到直线x－y＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝，解直角三角形得，半弦长为，所以弦长等于.
答案：D
4．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线的方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心．由题意得所求直线过点(2,1)和圆心(1，－2)，∴其方程为＝，整理得3x－y－5＝0.
答案：A
5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离是( )
A．18 B．6
C．5 D．4
解析：由题意得，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则其半径r＝3，圆心(2,2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝＝2，故圆上的点到直线的最大距离是3＋2＝5.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________．
解析：∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为_________________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：
x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
8．过点(5,2)向圆x2＋6x＋y2＋2y＋1＝0引切线，则切线长为________________．
解析：由已知可得，点(5,2)在圆外，则切线长为＝8.
答案：8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．过点P(1，－1)的直线L与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4相切，求切线方程和切线长.
解析：若直线L的斜率存在，设L的方程为y－(－1)＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，
因为直线L与圆相切，所以圆心M到直线L的距离d＝r，即＝2，解得k＝.
若直线L的斜率不存在，则其方程为x＝1，满足要求．
故所求切线方程为21x－20y－41＝0或x＝1.
设其中一个切点为A，则在直角三角形PMA中，有|MP|＝，所以切线长|PA|＝＝5.
10．直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
解析：据题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
方法一 联立方程组消去y，得
(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0.
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)，
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|
＝×4＝2，
∴|OH|＝＝，
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：由点M在圆外，得a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，则直线与圆O相交．
答案：B
12．[2019·江西广昌一中月考]已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于________．
解析：由题可得＝，得a＝－1或a＝－－1(舍去)．
答案：－1
13．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．
解析：解法一 设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦为AB，其中点为C，连接OC，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得＝3，解得k＝±.
解法二 设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦为AB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得，(1＋k2)x2＋12kx＋11＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因此|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝8，解得k＝±.
14．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解析：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )
A．相切 B．内含
C．相交 D．相离
解析：因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，所以两圆内含．
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
答案：C
3．两圆(x－2)2＋(y－1)2＝4与(x＋1)2＋(y－2)2＝9的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：两圆的圆心距为＝.
两个圆的半径长之和为5，半径长之差为1.
∵1<<5，∴两个圆相交，公切线有2条．
答案：B
4．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )
A．2 B．2－2
C．2－4 D．2
解析：两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆相离，所以A，B两点之间的最短距离为2－4，故选C.
答案：C
5．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋x－y＝0
B．x2＋y2－x＋y＝0
C．x2＋y2＋x－y＋＝0
D．x2＋y2＋x＋y＋＝0
解析：利用圆系方程来求．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴<5－1或>5＋1，解得－24.
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
7．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.
答案：3
8．[2019·海南校级月考]过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
解析：方法一 把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5.
圆C1与圆C2的圆心距d＝＝3，
又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－，
而5－<3<5＋，即r2－r1所以圆C1与圆C2的位置关系是相交．
方法二 将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0 ③，由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0 ④，
方程④根的判别式Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，
所以方程④有两个不相等的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程③，得到x1，x2.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(x1，y1)，(x2，y2)，即圆C1与圆C2的位置关系是相交．
10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
解析：联立两圆的方程，得
相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.
方法一 由
解得或
即两圆的交点坐标分别为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
方法二 设所求圆C的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，
可求得圆心C.
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )
A．2.4米 B．3米
C．3.6米 D．2.0米
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系．
由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，
由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．
此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)，故选B.
答案：B
12．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．
解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
13．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解析：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
圆心为.
由题意，得－＋－4＝0，
∴λ＝－7.
∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
14．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆相切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
课件36张PPT。4.2.2 圆与圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
知识导图
学法指导
1.重点掌握用几何法(利用两圆的圆心距与两圆半径长的关系)判断圆与圆的位置关系．
2．解决实际问题时，把握建系的技巧．
3．处理圆与圆相切的问题时，注意内切与外切均属于相切，在不能确定的情况下应分类讨论．
4．体会求两圆的公共弦的方法及步骤．
高考导航
1.考查圆与圆的位置关系或由圆与圆的位置关系求参数是高考的热点，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，分值为5分．
2．两圆的公共弦问题是高考的常考知识点，各种题型均有出现，难度中等，分值为4～6分.
知识点一 圆与圆的位置关系
圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r与圆C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：
位置关系
几何法
代数法
图示
外离
|C1C2|>r1＋r2
Δ<0
外切
|C1C2|＝r1＋r2
Δ＝0
相交
|r1－r2|<|C1C2|Δ>0
内切
|C1C2|＝|r1－r2|
Δ＝0
内含
|C1C2|<|r1－r2|
Δ<0
1．应用代数法判定两圆位置关系时应注意：
(1)Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；
(2)Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；
(3)Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离．
知识点二 用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的三个步骤：
2．利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确地判断位置关系(如：Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ<0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离还是内含)，必须辅以图形．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
解析：圆心距d＝＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．
答案：B
3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：两圆的圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线有4条．
答案：D
4．[2019·上海检测]已知以C(－4,3)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，则圆C的方程为________________．
解析：设圆C的半径长为r，则(x＋4)2＋(y－3)2＝r2.
由题意得两圆圆心距d＝＝5，
因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圆C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝16.
答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝16
类型一 两圆位置关系的判定
例1 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，
(1)圆C1和圆C2外切？
(2)圆C1与圆C2内含？
【解析】 把圆C1，圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果圆C1与圆C2外切，则＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2将圆的一般方程化成标准方程→
结合圆的位置关系得出半径长之间的关系→由此列式求解
方法归纳
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练1 圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
解析：
方法一 画出两圆，由图可直观得出两圆外离．
方法二 根据题意，可知圆A与圆B的圆心距d＝＝5>4，即d>rA＋rB，故两圆外离．
方法三 将两圆的方程联立，得方程组
即
消去x2，y2，得6x＋8y－5＝0，将其代入圆A(或圆B)的方程中消去y，得100x2＋100x＋169＝0，所以Δ＝1002－4×100×169<0，所以方程无实数解，即两圆相离．因为两圆半径长相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．
答案：B
思路一 求圆C1圆C2的半径r1，r2→求|C1C2|→比较|C1C2|与|r1－r2|，r1＋r2的大小→得出结论
思路二 联立圆C1与圆C2的方程→整理成关于x?或y?的一元二次方程→判断判别式的符号→得出结论
类型二 两圆的公共弦的问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
【解析】 (1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋.r1－r2＝5－，
∴r1－r2<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4，③
把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴或
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为＝2.
方法二 两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，所以公共弦长2l＝2.
(1)利用圆心距与两圆半径的和差比较判断两圆的位置关系．
(2)求两圆公共弦所在的直线方程，两圆方程相减即可．求弦长，可解方程组求交点坐标，利用两点间的距离公式，也可利用弦心距、半径与弦长的关系求解．
方法归纳
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
跟踪训练2 (1)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)[2019·甘肃省兰州第一中学期中]若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．3 D．±2
解析：(1)两圆的圆心分别为(－2,2)，(2，－5)，则两圆的圆心距d＝＝.又两圆半径分别为1和4，则d>1＋4＝5，即两圆外离，因此它们有4条公切线．
(2)由题意知，圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直线为2ay－2＝0，
而圆心(0,0)到2ay－2＝0的距离为d＝＝，所以22＝()2＋2，解得a＝±1.
答案：(1)D (2)B
类型三 圆与圆相切的问题
例3 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
【解析】 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)．
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋.解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故有－＝5.
解得m＝25－10.
因为kc1c2＝＝，所以两圆公切线的斜率是－，
设切线方程为y＝－x＋b，则有＝.解得b＝±.
容易验证，当b＝＋，直线与另一圆相交，故舍去．
故所求公切线方程为y＝－x＋－.即4x＋3y＋5－13＝0.
(1)利用|C1C2|＝R＋r，求m.
(2)利用|C1C2|＝R－r，求m，再求公切线方程．
方法归纳
求公切线的五个步骤
(1)判断公切线的条数．
(2)设出公切线的方程．
(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．
(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线．
(5)归纳总结．
注意：对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．
跟踪训练3 求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线方程．
解析：如图所示，易知两圆相交，公切线有两条．
由圆M的方程易得M(0,5)，r＝3.
设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，
则公切线方程为x0x＋y0y＝36.
∵点M到公切线的距离等于3
∴＝3.
∵x＋y＝36，又点M在公切线的下方，
∴－(5y0－36)＝18，即y0＝.从而x0＝±＝±.
∴公切线方程为x＋y－36＝0或－x＋y－36＝0，
即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.
在求两圆的公切线时，首先，要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，应用最佳方法．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )
A．相切 B．内含
C．相交 D．相离
解析：因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，所以两圆内含．
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
答案：C
3．两圆(x－2)2＋(y－1)2＝4与(x＋1)2＋(y－2)2＝9的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：两圆的圆心距为＝.
两个圆的半径长之和为5，半径长之差为1.
∵1<<5，∴两个圆相交，公切线有2条．
答案：B
4．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )
A．2 B．2－2
C．2－4 D．2
解析：两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆相离，所以A，B两点之间的最短距离为2－4，故选C.
答案：C
5．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋x－y＝0
B．x2＋y2－x＋y＝0
C．x2＋y2＋x－y＋＝0
D．x2＋y2＋x＋y＋＝0
解析：利用圆系方程来求．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴<5－1或>5＋1，解得－24.
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
7．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.
答案：3
8．[2019·海南校级月考]过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
解析：方法一 把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5.
圆C1与圆C2的圆心距d＝＝3，
又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－，
而5－<3<5＋，即r2－r1所以圆C1与圆C2的位置关系是相交．
方法二 将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0 ③，由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0 ④，
方程④根的判别式Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，
所以方程④有两个不相等的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程③，得到x1，x2.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(x1，y1)，(x2，y2)，即圆C1与圆C2的位置关系是相交．
10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
解析：联立两圆的方程，得
相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.
方法一 由
解得或
即两圆的交点坐标分别为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
方法二 设所求圆C的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，
可求得圆心C.
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )
A．2.4米 B．3米
C．3.6米 D．2.0米
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系．
由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，
由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．
此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)，故选B.
答案：B
12．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．
解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
13．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解析：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
圆心为.
由题意，得－＋－4＝0，
∴λ＝－7.
∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
14．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆相切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
