1.4.1-2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对函数y＝cos x的图象描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴只有一个交点
解析：观察余弦函数的图象知：y＝cos x关于y轴对称，故C错误．
答案：C
2．下列各点中，不在y＝sin x图象上的是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，1)
解析：y＝sin x图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．
答案：D
3．不等式sin x>0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C. D.
解析：由y＝sin x在[0,2π]的图象可得．
答案：B
4．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：点M在y＝sin x的图象上，代入得－m＝sin＝1，
∴m＝－1.
答案：C
5．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列叙述正确的有________．
(1)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
(2)y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
解析：分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
(3)y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
(4)y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；
对(4)，y＝cos(－x)＝cos x，
故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．
答案：(2)(4)
8．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
解析：令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.
答案：，
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解析：(1)取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)
10．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解析：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析：依题意，由余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.
答案：D
12．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
13．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解析：列表如下：
x
π
2π
π
sin
0
1
0
－1
0
描点并用光滑的曲线连接起来．
14．利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．
解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．
课件23张PPT。第1课时 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.1-2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )
A. B．3π
C. D.
解析：该函数的最小正周期T＝＝.
答案：C
2．函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：因为f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
3．函数f(x)＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：f(x)＝sin
＝sin
＝－sin＝－cos 2 010x，
f(x)定义域为R，
且f(－x)＝－cos(－2 010x)＝－cos 2 010x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
答案：B
4．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数 B．是非奇非偶函数
C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝xsin＝xcos x，所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin x|是偶函数；
y＝sin＝cos 2x是偶函数；
y＝cos＝－sin 2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．
解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
答案：奇
7．函数y＝cos的最小正周期是________．
解析：∵y＝cos，∴T＝＝2π×＝4.
答案：4
8．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(8)＝________.
解析：∵f(x)的周期为2，
∴f(x＋2)＝f(x)，
∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝cos；(2)y＝|sin|.
解析：(1)利用公式T＝，可得函数
y＝cos的最小正周期为T＝＝π.
(2)易知函数y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，而函数y＝的图象是由函数y＝sin的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y＝的最小正周期为2π.
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos 2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝x·cos x.
解析：(1)因为x∈R，
f(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos 2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x)，
所以f(x)＝xcos x是奇函数．
[能力提升](20分钟，40分)
11．下列说法中正确的是( )
A．当x＝时，sin≠sin x，所以不是f(x)＝sin x的周期
B．当x＝时，sin＝sin x，所以是f(x)＝sin x的一个周期
C．因为sin(π－x)＝sin x，所以π是y＝sin x的一个周期
D．因为cos＝sin x，所以是y＝cos x的一个周期
解析：若T是f(x)的周期，则对于f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立，B，C，D错误．
答案：A
12．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f＝sin＝.
答案：
13．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
解析：(1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
课件23张PPT。1.4.1-2.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )
A. B.
C. D.
解析：y＝sin x在和上是增函数，y＝cos x在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.
答案：D
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝－
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x有最小值－1，函数y＝2－sin x有最大值3.
答案：C
3．符合以下三个条件：①上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝－sin x
C．y＝cos x D．y＝－cos x
解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.
答案：B
4．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sinπ>sin D．sin 2>cos 1
解析：因为sin 2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，即sin 2>cos 1.
答案：D
5．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：方法一 y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
方法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.
答案：－
8．sin________sin(填“>”或“<”)．
解析：sin＝sin＝sin，因为0<<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin
答案：>
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝2sin.
解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sinx－的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝2sin的单调递增区间为
，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数y＝2sin的单调递减区间为
，k∈Z.
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝2sin.
解析：(1)∵－1≤cos≤1
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
12．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π答案：(－π， 0]
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos与cos；
(2)sin 194°与cos 160°.
解析：(1)cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵0<<<π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos，
即cos>cos.
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
课件26张PPT。1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
正弦函数、余弦函数的图象
b
c
周期函数的概念
a
a
正弦函数、余弦函数的性质
b
b
知识导图
学法指导
1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．
2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．
3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化而非ωx.
4．运用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sin t，y＝cos t的图象和性质研究函数y＝sin(ωx＋φ)，y＝cos(ωx＋φ)的图象和性质．
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
正弦曲线与余弦曲线及其画法
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象
画法
五点法
五点法
关键
五点
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
1.关于正弦函数y＝sin x的图象
(1)正弦函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sinx，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )
(2)正弦函数在和上的图象相同．( )
(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：画出y＝sin x的图象，根据图象可知A，B，D三项都正确．
答案：C
3．下列图象中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是( )
解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
4．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．
解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，π，π.
答案：0，，，π，π
类型一 用“五点法”作三角函数的图象
例1 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x＋，x∈[0,2π]；
(2)y＝1－cos x，x∈[0,2π]．
【解析】 (1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点连线，其图象如图所示：
作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线．
方法归纳
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．
解析：(1)列表，如下表所示
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos x
5
3
1
3
5
(2)描点，连线，如图所示：
利用五点作图法画简图．
类型二 正、余弦函数曲线的简单应用
例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－在[0,2π]上的x的取值范围．
【解析】 在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－的图象，如图所示．
观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x≥－的x∈∪，所以满足sin x≥－在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤π或≤x≤2π}.或∪
在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－的图象，利用图象求x的范围.
方法归纳
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
[注意] 解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．
跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤的x的取值范围．
解析：作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
在同一坐标内作y＝cos x与y＝的图象，利用图象求x的范围.
1.4.1-2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对函数y＝cos x的图象描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴只有一个交点
解析：观察余弦函数的图象知：y＝cos x关于y轴对称，故C错误．
答案：C
2．下列各点中，不在y＝sin x图象上的是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，1)
解析：y＝sin x图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．
答案：D
3．不等式sin x>0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C. D.
解析：由y＝sin x在[0,2π]的图象可得．
答案：B
4．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：点M在y＝sin x的图象上，代入得－m＝sin＝1，
∴m＝－1.
答案：C
5．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列叙述正确的有________．
(1)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
(2)y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
解析：分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
(3)y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
(4)y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；
对(4)，y＝cos(－x)＝cos x，
故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．
答案：(2)(4)
8．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
解析：令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.
答案：，
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解析：(1)取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)
10．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解析：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析：依题意，由余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.
答案：D
12．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
13．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解析：列表如下：
x
π
2π
π
sin
0
1
0
－1
0
描点并用光滑的曲线连接起来．
14．利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．
解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．
第2课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
1.周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
关于最小正周期
(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝求最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
关于正、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.( )
(2)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.( )
(3)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析：对于A，T＝＝4π，对于B，T＝＝π，
对于C，T＝＝8π，对于D，T＝＝.
答案：D
3．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
4．下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin x
C．y＝sin|x| D．y＝sin x＋1
解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．
答案：C
类型一 求三角函数的周期
例1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( )
A.y＝|cos x|
B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x|
D．y＝sin|x|
(2)函数y＝2sin的周期为________．
【解析】 (1)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数．
(2)方法一 因为2sin＝2sin，
即2sin＝2sin.
所以y＝2sin的最小正周期是6π.
方法二 函数的周期T＝＝＝6π.
【答案】 (1)D (2)6π
(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．
(2)利用周期的定义，需要满足f(x＋T)＝f(x) ；也可利用公式T＝计算周期．
方法归纳
求函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
跟踪训练1 求下列函数的周期．
(1)y＝2sin 2x；
(2)y＝cos.
解析：(1)方法一 因为2sin(2x＋2π)＝2sin 2x，即2sin 2(x＋π)＝2sin 2x.
由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.
方法二 T＝＝π.
(2)方法一 因为cos＝cos，即cos＝cos.
由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π.
方法二 T＝＝4π
(1)利用周期的定义求函数周期．
(2)利用公式T＝求函数周期．
类型二 正、余弦函数的奇偶性问题
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos；
(2)f(x)＝sin(cos x)．
【解析】 (1)函数的定义域为R.且f(x)＝cos＝－sin 2x.
因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cos是奇函数．
(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin(cos x)是偶函数.
先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．
方法归纳
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝＋.
解析：(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，
得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
(1)利用定义法判断函数的奇偶性．
(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x的值以及x的值，最后判断函数的奇偶性．
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
【解析】 因为f(x)的最小正周期是π，
所以f＝f＝f，
因为f(x)是R上的偶函数，
所以f＝f＝sin＝.
利用周期性
f＝f ＝f，再利用奇偶性f＝f，最后代入求值．
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为，其他条件不变，求f的值．
解析：因为f(x)的最小正周期是，
所以f＝f＝f＝f＝sin＝
利用周期性f＝f＝f代入求值．
1.4.1-2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )
A. B．3π
C. D.
解析：该函数的最小正周期T＝＝.
答案：C
2．函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：因为f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
3．函数f(x)＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：f(x)＝sin
＝sin
＝－sin＝－cos 2 010x，
f(x)定义域为R，
且f(－x)＝－cos(－2 010x)＝－cos 2 010x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
答案：B
4．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数 B．是非奇非偶函数
C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝xsin＝xcos x，所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin x|是偶函数；
y＝sin＝cos 2x是偶函数；
y＝cos＝－sin 2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．
解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
答案：奇
7．函数y＝cos的最小正周期是________．
解析：∵y＝cos，∴T＝＝2π×＝4.
答案：4
8．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(8)＝________.
解析：∵f(x)的周期为2，
∴f(x＋2)＝f(x)，
∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝cos；(2)y＝|sin|.
解析：(1)利用公式T＝，可得函数
y＝cos的最小正周期为T＝＝π.
(2)易知函数y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，而函数y＝的图象是由函数y＝sin的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y＝的最小正周期为2π.
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos 2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝x·cos x.
解析：(1)因为x∈R，
f(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos 2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x)，
所以f(x)＝xcos x是奇函数．
[能力提升](20分钟，40分)
11．下列说法中正确的是( )
A．当x＝时，sin≠sin x，所以不是f(x)＝sin x的周期
B．当x＝时，sin＝sin x，所以是f(x)＝sin x的一个周期
C．因为sin(π－x)＝sin x，所以π是y＝sin x的一个周期
D．因为cos＝sin x，所以是y＝cos x的一个周期
解析：若T是f(x)的周期，则对于f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立，B，C，D错误．
答案：A
12．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f＝sin＝.
答案：
13．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
解析：(1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正、余弦函数的图象与性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在(k∈Z)上递增，
在(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
(1)正、余弦函数的单调性：
①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；
②单调区间要在定义域内求解；
③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．
(2)正、余弦函数的最值
①明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1, |cosx|≤1；
②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；
③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
(2)正弦函数y＝sin x的一个增区间是[0，π]．( )
(3)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A.上是增函数 B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数
解析：y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
答案：B
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|
C．y＝sin D．y＝－sin
解析：y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
答案：C
4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.
答案：A
类型一 正、余弦函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A.
B．[－π，0]
C.
D.
(2)函数y＝cos的单调递增区间是________．
【解析】 (1)由≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以是函数的一个减区间．
(2)因为－π＋2kπ≤2x －≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
【答案】 (1)D (2)(k∈Z)
(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．
(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反．
跟踪训练1 (1)下列函数，在上是增函数的是( )
A.y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝sin 2x
D．y＝cos 2x
(2)求函数y＝2sin的单调递增区间．
解析：(1)因为y＝sin x与y＝cos x在上都是减函数，所以排除A，B.
因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin 2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.
(2)由y＝2sin，得y＝－2sin.
∴要求函数y＝2sin的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(1)D (2)(k∈Z)
(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．
(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin，再利用性质求增区间．
类型二 比较三角函数值的大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；
(2)cos与cos.
【解析】 (1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos2π－＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小．
方法归纳
比较三角函数值大小的方法
(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．
(2)不同名的函数化为同名函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
跟踪训练2 比较下列各组数的大小．
(1)sin与sinπ；
(2)cos 870°与sin 980°.
解析：(1)sin＝sin＝sin，sinπ＝sin＝sin，
因为y＝sin x在上是增函数，所以sin(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，
因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，
即cos 870°>sin 980°.
首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．
类型三 正、余弦函数的最值问题
例3 函数y＝2cos－1的最小值是______，此时x＝______.
【解析】 当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z时，
ymin＝－2－1＝－3.
【答案】 －3 ＋kπ，k∈Z
观察函数解析式特点，由y＝cos的最小值，求函数y＝2cos－1的最小值，并求x的取值．
方法归纳
求正、余弦函数最值问题的关注点
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．
(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝2sin2x＋2sin x－，x∈.
解析 (1)由y＝cos，x∈0，可得x＋∈，函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)令t＝sin x，∴y＝2t2＋2t－＝22－1.
∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1，
∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为.
(1)先由x的范围求出x＋的范围，再求值域．
(2)先换元令t＝sin x，再利用二次函数求值域．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )
A. B.
C. D.
解析：y＝sin x在和上是增函数，y＝cos x在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.
答案：D
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝－
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x有最小值－1，函数y＝2－sin x有最大值3.
答案：C
3．符合以下三个条件：①上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝－sin x
C．y＝cos x D．y＝－cos x
解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.
答案：B
4．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sinπ>sin D．sin 2>cos 1
解析：因为sin 2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，即sin 2>cos 1.
答案：D
5．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：方法一 y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
方法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.
答案：－
8．sin________sin(填“>”或“<”)．
解析：sin＝sin＝sin，因为0<<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin答案：>
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝2sin.
解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sinx－的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝2sin的单调递增区间为
，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数y＝2sin的单调递减区间为
，k∈Z.
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝2sin.
解析：(1)∵－1≤cos≤1
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
12．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π答案：(－π， 0]
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos与cos；
(2)sin 194°与cos 160°.
解析：(1)cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵0<<<π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos，
即cos>cos.
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
