1.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1 920°的角化为弧度数为( )
A. B.
C.π D.π
解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝π rad.
答案：D
2．5弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为<5<2π，所以5弧度的角的终边在第四象限．
答案：D
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是( )
A．－π B．－2π
C．π D．－π
解析：∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋.
∴θ＝－π.
答案：A
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得，解得θ＝3，故选C.
答案：C
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列四个角：1,60°，，－由大到小的排列为____________．
解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×＝，所以四个角为1，，，－.所以60°＝>1>－.
答案：60°＝>1>－
7．若三角形三内角之比为3?：4?：5，则三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
答案：，，
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解析：(1)20°＝π＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)＝(×)°＝(×180)°＝105°.
(4)－＝(－×)°＝(－×180)°＝－396°.
10．如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，
弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝＝2.
过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，
又∠BOA＝2 rad，
∴∠BOC＝1 rad，
∴BC＝OB·sin 1＝2sin 1(cm)，
∴AB＝2BC＝4sin 1(cm)．
故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm.
[能力提升](20分钟，40分)
11．集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( )
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
答案：C
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析：由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，
又280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，
∴α与的终边相同，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，
又α与的终边相同，
∴γ∈.
又∵γ∈，
∴－<2kπ＋<，
易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，
∴γ＝－2π＋＝－.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝，
R＝10 cm，l＝×10＝(cm)，
S＝S扇－S△＝××10－×102＝cm2.
(2)设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0∴扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.
∴当R＝5 cm时，S有最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
因此，当α＝2 rad时，这个扇形的面积最大．
课件38张PPT。1.1.2 弧度制
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
弧度制的概念
a
a
弧度与角度的互化
b
b
知识导图
学法指导
1.熟练掌握弧度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．
2．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．
3．记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆，S＝底·高＝lR.
1.度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度
的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad
正确理解弧度与角度的概念
区别
(1)定义不同；
(2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位
联系
(1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；
(2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
2．弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个正数．
(2)负角：负角的弧度数是一个负数．
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
4．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝α·R.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝α·R2.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角等于1度的角．( )
(2)弧度的计算公式为α＝.( )
(3)直角的弧度数为.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列各种说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角
D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.
答案：D
3．将864°化为弧度为( )
A. B.
C. D.π
解析：864°＝864×＝，故选C.
答案：C
4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
解析：216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，
∴r＝25.
答案：25
类型一 角度与弧度的换算
例1 (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：
α1＝－π，α2＝π，α3＝9，
α4＝－855°.
(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式：，－315°，－.
(3)在0°～720°范围内，找出与π终边相同的角．
【解析】 (1)α1＝－π＝－×180°≈－282.86°；α2＝π＝×180°＝15 330°；
α3＝9＝9×°≈515.66°；α4＝－855°＝－855°×＝－π.
(2)＝4π＋；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋；－＝－2π＋.
(3)∵＝×180°＝72°，∴终边与相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.故在0°～720°范围内，与终边相同的角为72°，432°.
(1)180 °＝π rad是进行“弧度”与“角度”换算的关键．
(2)表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，调整k使角在[0,2π)内．
(3)把弧度换算成角度，写出终边相同的角的集合，调整k使角在0 °～720 °内．
方法归纳
进行角度制与弧度制的互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
跟踪训练1 (1)将下列各角用弧度表示，并指出它们是第几象限角：α1＝510°，α2＝－750°；
(2)将下列各角用度表示，并在0°～360°范围内找出与它们终边相同的角：β1＝π，β2＝－π.
解析：(1)∵1°＝ rad，∴α1＝510°＝510×＝π，
则α1＝π＝2π＋π；
α2＝－750°＝－750×＝－π，则α2＝－π＝－3×2π＋π，∴α1是第二象限角，α2是第四象限角．
(2)β1＝π＝×＝144°，设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵0°≤θ1<360°，∴0°≤k·360°＋144°<360°(k∈Z)，∴k＝0.
∴在0°～360°内，与角β1终边相同的角是144°角；
β2＝－π＝－×＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵0°≤θ2<360°，∴0°≤k·360°－330°<360°(k∈Z)，∴k＝1.
∴在0°～360°内，与角β2终边相同的角是30°角．
角度与弧度的换算只要记住一个公式：＝.据此可推出n °＝n·rad，α rad＝α· °.
类型二 用弧度制表示角的集合
例2 已知角α＝2 005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
【解析】 (1)2 005°＝2 005× rad＝ rad＝5×2π＋rad，又π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
方法归纳
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解析：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图(2)，同理可得，所求集合为α2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z∪α2kπ＋π＋<α<2kπ＋π＋，k∈Z＝.
本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.
类型三 与扇形弧长、面积相关的问题
例3 (1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
【解析】 (1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，所以α＝.
(2)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得
所以圆心角α＝＝2.
如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1 rad.
所以AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，所以AB＝2sin 1(cm)，
所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm.
【答案】 (1)C (2)见解析
(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a＝r，再求α.
(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解．
方法归纳
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解析： (1)设扇形弧长为l，
因为120°＝120× rad＝(rad)，
所以l＝αR＝×＝(cm)．
所以S＝lR＝××＝π(cm2)．
故填π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为R，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．
当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝(rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为rad.
答案：(1)π (2)见解析
求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量．也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．
1.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1 920°的角化为弧度数为( )
A. B.
C.π D.π
解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝π rad.
答案：D
2．5弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为<5<2π，所以5弧度的角的终边在第四象限．
答案：D
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是( )
A．－π B．－2π
C．π D．－π
解析：∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋.
∴θ＝－π.
答案：A
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得，解得θ＝3，故选C.
答案：C
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列四个角：1,60°，，－由大到小的排列为____________．
解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×＝，所以四个角为1，，，－.所以60°＝>1>－.
答案：60°＝>1>－
7．若三角形三内角之比为3?：4?：5，则三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
答案：，，
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解析：(1)20°＝π＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)＝(×)°＝(×180)°＝105°.
(4)－＝(－×)°＝(－×180)°＝－396°.
10．如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，
弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝＝2.
过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，
又∠BOA＝2 rad，
∴∠BOC＝1 rad，
∴BC＝OB·sin 1＝2sin 1(cm)，
∴AB＝2BC＝4sin 1(cm)．
故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm.
[能力提升](20分钟，40分)
11．集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( )
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
答案：C
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析：由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，
又280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，
∴α与的终边相同，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，
又α与的终边相同，
∴γ∈.
又∵γ∈，
∴－<2kπ＋<，
易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，
∴γ＝－2π＋＝－.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝，
R＝10 cm，l＝×10＝(cm)，
S＝S扇－S△＝××10－×102＝cm2.
(2)设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0∴扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.
∴当R＝5 cm时，S有最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
因此，当α＝2 rad时，这个扇形的面积最大．
