2.4.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析：m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 45°＝24×＝12.
答案：B
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，
所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，
所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：C
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
答案：C
5．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：因为a·b＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
解析：方法一 ·＝||||cos(180°－∠B)＝－||||cos∠B＝－||||·＝－||＝－1.
方法二 ||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||||cos∠B，而||·cos∠B＝||，所以·＝－||＝－1.
答案：－1
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
8．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________．
解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a2－b2；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.
10．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；
(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(3)如图，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
解析：(1)a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，
∴|a＋b|＝＝
＝ ＝5，
|a－b|＝＝＝＝5，
|3a＋b|＝＝＝＝5.
(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.
(3)设＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，BD＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
解析：设BC的中点为M，则化简(－)·(＋－2)＝0，得到·(＋)＝·(2)＝2·＝0，则·＝0，∴⊥，∴AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
答案：B
12．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中为正确命题的是________(填序号)．
解析：(a·b)c表示与向量c共线的向量，(c·a)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)a－(c·a)b]·c＝0，即(b·c)a－(c·a)b与c垂直，故②错误；显然③正确．
答案：③
13．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
解析：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝＝＝，
|q|＝|a－b|＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝.
14．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，
∴cos θ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
课件29张PPT。2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导
1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．
2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.
向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
性质
(1)a⊥b?a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|
运算律
交换律：a·b＝b·a
结合律：(λa)·b
＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c
＝a·c＋b·c
关于向量数量积应注意的问题
(1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥.
(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．
(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．
(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( )
(2)两个向量的数量积是向量．( )
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＞0?a·b＞0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝( )
A. B.
C．1 D．－
解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.
答案：A
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos 60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.
答案：C
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，
cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
类型一 向量数量积的计算及其几何意义
例1 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A.－
B.
C.
D.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．
【解析】 (1)设＝a，＝b，则a·b＝，|a|＝|b|＝1.＝＝(b－a)，＝＝(b－a)，＝＋＝－a＋(b－a)＝－a＋b，·＝－a·b＋b2＝－＋＝.
(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos θ＝＝＝－4.
【答案】 (1)B (2)－ －4
(1)先求，再利用向量的数量积定义计算．
(2)向量在向量方向上的投影为||·cosθ＝，向量在向量方向上的投影为||·cosθ＝.
方法归纳
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
跟踪训练1 本例1中，若DE的中点为G，求·.
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，
所以·＝·＋2＝×1×1×cos120°＋×12＝－.
由已知先求，再利用公式求 ·.
类型二 向量模的有关计算
例2 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)|a＋2b|＝＝＝
＝＝2.
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
【答案】 (1)B (2)B
求向量的模，先平方，利用公式求，再开方．
方法归纳
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练2 (1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________；
(2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：(1)因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．
因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0，所以－(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1.
(2)因为α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，又|α|＝1，所以α·β＝，所以|2α＋β|＝＝＝.
答案：(1)1 (2)
将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数量积的定义求解．
类型三 向量的夹角与垂直
例3 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
【解析】 (1)设a，b的夹角为θ，因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，所以2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos θ＝0.
因为|b|＝4|a|，所以2|a|2＋4|a|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝π.
(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
【答案】 (1)C (2)见解析
(1)利用⊥(2＋)?·(2＋)＝0，化简求解．
(2)利用(－)(＋)＝化简，求||，再利用数量积变形公式求角．
方法归纳
求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
跟踪训练3 (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________；
(2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，
①求向量a与b夹角的大小．
②求|a－2b|的值．
解析：(1)设a与b的夹角为θ，依题意有：
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
(2)①设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，
所以|a－2b|＝.
答案：(1) (2)见解析
(1)将等式(＋2)·(－)＝－6化简，求得夹角．(2)利用向量垂直的性质：⊥?·＝0求解．
2.4.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析：m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 45°＝24×＝12.
答案：B
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，
所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，
所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：C
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
答案：C
5．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：因为a·b＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
解析：方法一 ·＝||||cos(180°－∠B)＝－||||cos∠B＝－||||·＝－||＝－1.
方法二 ||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||||cos∠B，而||·cos∠B＝||，所以·＝－||＝－1.
答案：－1
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
8．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________．
解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a2－b2；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.
10．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；
(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(3)如图，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
解析：(1)a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，
∴|a＋b|＝＝
＝ ＝5，
|a－b|＝＝＝＝5，
|3a＋b|＝＝＝＝5.
(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.
(3)设＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，BD＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
解析：设BC的中点为M，则化简(－)·(＋－2)＝0，得到·(＋)＝·(2)＝2·＝0，则·＝0，∴⊥，∴AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
答案：B
12．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中为正确命题的是________(填序号)．
解析：(a·b)c表示与向量c共线的向量，(c·a)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)a－(c·a)b]·c＝0，即(b·c)a－(c·a)b与c垂直，故②错误；显然③正确．
答案：③
13．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
解析：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝＝＝，
|q|＝|a－b|＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝.
14．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，
∴cos θ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
