2.4.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－ B.
C．2 D．6
解析：依题意得6－m＝0，m＝6，选D.
答案：D
2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案：C
3．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，
∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝( )
A．－6 B．－1
C．1 D．6
解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
答案：C
5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则a·b＝x－＝0，得x＝，∴a－b＝(，1)－(1，－)＝(0,4)，(a－b)·b＝0×1＋4×(－)＝－4，|a－b|＝4，|b|＝2，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.
解析：因为a＝(－4,3)，所以2|a|2＝2×()2＝50.
a·b＝－4×1＋3×2＝2.
所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.
答案：44
7．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解析：由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.
答案：－1
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，
又因为cos α＝，cos θ＝，
由题意知＝，即＝.
解得m＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
10．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
解析：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得所以或
故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，∴a·b＝1，
故cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.
·(＋)＝2·＝2(－1－x，－y)·＝2[(x＋1)·＋y·]＝2[2＋2－].
因此，当x＝－，y＝时，·(＋)取得最小值，为2×＝－，故选B.
答案：B
12．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t＝________.
解析：因为a＝(4，－3)，b＝(2,1)，
所以a＋tb＝(2t＋4，t－3)，
所以(a＋tb)·b＝5t＋5.
又|a＋tb|＝
＝，
|b|＝，(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos 45°，
所以5t＋5＝××，
整理得t2＋2t－3＝0，
解得t＝1或t＝－3，
经检验知t＝－3不成立，故t＝1.
答案：1
13．在△PQR中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△PQR的一个内角为直角，求k的值．
解析：(1)当∠P为直角时，PQ⊥PR，
∴·＝0，即2＋3k＝0，∴k＝－.
(2)当∠Q为直角时，QP⊥QR，
易知＝(－2，－3)，＝－＝(－1，k－3)．
由·＝0，得2－3(k－3)＝0，∴k＝.
(3)当∠R为直角时，RP⊥RQ，
易知＝(－1，－k)，＝－＝(1,3－k)．
由·＝0，得－1－k(3－k)＝0，∴k＝.
综上所述，k的值为－或或或.
14．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝，
又|c|＝2，所以|c|＝2|a|.
又因为c∥a，所以c＝±2a，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)因为a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝，|b|＝代入，
得a·b＝－.
所以cos θ＝＝－1，
又由θ∈[0，π]，得θ＝π，
即a与b的夹角为π.
课件29张PPT。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
数量积的坐标表示
c
c
两个向量夹角
的坐标运算
b
b
平面向量模
的坐标运算
b
b
知识导图
学法指导
1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．
2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；
(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．
2．三个重要公式
向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
对向量模长公式的理解
(1)模长公式是数量积的坐标表示·＝x1x2＋y1y2的一种特例，当＝时，则可得||2＝x＋y；
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( )
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
解析：由数量积的计算公式得，a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.
答案：D
3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：A
4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
解析：因为a＋b＝(－1, )，所以|a＋b|＝＝2.
答案：2
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12)
B．0
C．－3
D．－11
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 (1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.
【答案】 (1)C (2)D
(1)先求出＋2，然后利用平面向量的数量积求出(＋2)·.
(2)利用平面向量的数量积运算求出·，由·＝－1得出关于x的方程求解．
方法归纳
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
跟踪训练1 已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
解析：设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以解得所以c＝.
答案：
设＝(x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于x，y的方程求解．
类型二 平面向量的模
例2 (1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．5
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【解析】 (1)因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－.
所以a＋b＝＋(1，－2)＝，|a＋b|＝＝.
(2)由题意，知a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，所以|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.
【答案】 (1)B (2)2 4
(1)两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
(2)已知＝(x，y)，则||＝ .
方法归纳
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
跟踪训练2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a·b＝10，则a的坐标为______．
【解析】 (1)因为a∥b，所以1·y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得
即解得或所以a＝(10,0)或a＝(－6,8)．
【答案】 (1)A (2)(10,0)或(－6,8)
(1)由∥求y，再求3＋的坐标，利用公式求模．
(2)设(x，y)，由已知列方程组，求x，y.
类型三 平面向量的夹角(垂直)
例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A.30°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ等于________．
【解析】 (1)由a·b＝－10，得
(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.
设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
(2)方法一 λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，
∴λ＝－1.
方法二 ∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即λa2＝2a·b，
∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1.
【答案】 (1)C (2)－1
(1)先求·，再由已知求·最后利用cosθ＝，求夹角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可．
方法归纳
利用数量积求两向量夹角的步骤
数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
模:利用|a|＝计算出这两个向量的模.
余弦值:由公式cos θ＝直接求出cos θ的值.
角:在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.
跟踪训练3 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解析：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，所以b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m、n的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为.
(1)由∥求x，由⊥求y.
(2)利用cosθ＝，求夹角．
2.4.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－ B.
C．2 D．6
解析：依题意得6－m＝0，m＝6，选D.
答案：D
2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案：C
3．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，
∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝( )
A．－6 B．－1
C．1 D．6
解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
答案：C
5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则a·b＝x－＝0，得x＝，∴a－b＝(，1)－(1，－)＝(0,4)，(a－b)·b＝0×1＋4×(－)＝－4，|a－b|＝4，|b|＝2，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.
解析：因为a＝(－4,3)，所以2|a|2＝2×()2＝50.
a·b＝－4×1＋3×2＝2.
所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.
答案：44
7．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解析：由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.
答案：－1
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，
又因为cos α＝，cos θ＝，
由题意知＝，即＝.
解得m＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
10．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
解析：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得所以或
故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，∴a·b＝1，
故cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.
·(＋)＝2·＝2(－1－x，－y)·＝2[(x＋1)·＋y·]＝2[2＋2－].
因此，当x＝－，y＝时，·(＋)取得最小值，为2×＝－，故选B.
答案：B
12．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t＝________.
解析：因为a＝(4，－3)，b＝(2,1)，
所以a＋tb＝(2t＋4，t－3)，
所以(a＋tb)·b＝5t＋5.
又|a＋tb|＝
＝，
|b|＝，(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos 45°，
所以5t＋5＝××，
整理得t2＋2t－3＝0，
解得t＝1或t＝－3，
经检验知t＝－3不成立，故t＝1.
答案：1
13．在△PQR中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△PQR的一个内角为直角，求k的值．
解析：(1)当∠P为直角时，PQ⊥PR，
∴·＝0，即2＋3k＝0，∴k＝－.
(2)当∠Q为直角时，QP⊥QR，
易知＝(－2，－3)，＝－＝(－1，k－3)．
由·＝0，得2－3(k－3)＝0，∴k＝.
(3)当∠R为直角时，RP⊥RQ，
易知＝(－1，－k)，＝－＝(1,3－k)．
由·＝0，得－1－k(3－k)＝0，∴k＝.
综上所述，k的值为－或或或.
14．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝，
又|c|＝2，所以|c|＝2|a|.
又因为c∥a，所以c＝±2a，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)因为a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝，|b|＝代入，
得a·b＝－.
所以cos θ＝＝－1，
又由θ∈[0，π]，得θ＝π，
即a与b的夹角为π.
