2.5
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直线方程为2x＋y－7＝0.
答案：A
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
答案：D
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：＝(3,3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．
答案：A
4．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝＝＝2 (m/s)．
答案：B
5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：50
7．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，得∥，
≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
8．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：因为＝(＋)＝(－1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
解析：方法一 设正方形ABCD的边长为1，
AE＝a(0
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二 设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，
由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
10．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？
解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500(J)，
F在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
∴f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
∴F，f所做的功分别是500 J，－22 J.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a km，则( )
A．s>|a| B．s<|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小
解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
答案：A
12．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则·等于________．
解析：由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°，所以·＝·cos 120°＝－.
答案：－
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风是每小时a千米的西北风．
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解析：
(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0，m)，B(n,0)，
因为D为AB的中点，所以D，，
所以||＝，
||＝，
所以||＝||，即CD＝AB.
(2)因为E为CD的中点，所以E.
设F(x,0)，则＝，
＝(x，－m)．
因为A，E，F三点共线，所以＝λ.
即(x，－m)＝λ.
则
故λ＝，即x＝，所以F，
所以||＝，即AF＝.
课件27张PPT。2.5 平面向量应用举例
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
平面向量在平面几何中的简单应用
b
b
平面向量在物理中的简单应用
a
a
知识导图
学法指导
1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法)和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题．
2．通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”，后者的思路是“形到数→数的运算→数到形”．
3．向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型.
1.物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．
2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等：通过向量运算，证明 2＝ 2，即可证明AB＝CD.
(2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.
(3)证明线段垂直：利用·＝0，证明两线段垂直．
(4)证明三点共线：利用＝λ(λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝x＋y(x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．
(5)证明四点共面：利用＝λ＋μ(λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．
(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用||＝求长度．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( )
(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.( )
(3)若向量∥，则AB∥CD.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B.⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
解析：因为＝(－2,0)，＝(2,4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．
答案：D
3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C. D．－
解析：F1＋F2＝＋＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
类型一 向量在几何中的应用
例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【证明】 方法一 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二 建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式(基底法)，也可以考虑坐标的形式(坐标法)．
方法归纳
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A.平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A.内心
B．外心
C．垂心
D．重心
解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
答案：(1)D (2)D
(1)由 ＋＝可得∥，||＝||，·＝0可得⊥.
(2)作出图形，取AB的中点E，连接OE.
类型二 向量在物理中的应用
例2 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分)．
【解析】 设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cos 30°＝150，a2＝300sin 30°＝150，b1＝－200cos 45°＝－100，b2＝200sin 45°＝100，
所以F1＝(150，150)，F2＝(－100，100)，
则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)，
|F|＝＝100≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝≈2.461 6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
利用，的大小和夹角→确定，的坐标→求出的坐标→进而得到的大小和方向
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)．
解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝＝4，
∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．
2.5
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直线方程为2x＋y－7＝0.
答案：A
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
答案：D
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：＝(3,3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．
答案：A
4．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝＝＝2 (m/s)．
答案：B
5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：50
7．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，得∥，
≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
8．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：因为＝(＋)＝(－1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
解析：方法一 设正方形ABCD的边长为1，
AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二 设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，
由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
10．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？
解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500(J)，
F在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
∴f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
∴F，f所做的功分别是500 J，－22 J.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a km，则( )
A．s>|a| B．s<|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小
解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
答案：A
12．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则·等于________．
解析：由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°，所以·＝·cos 120°＝－.
答案：－
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风是每小时a千米的西北风．
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解析：
(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0，m)，B(n,0)，
因为D为AB的中点，所以D，，
所以||＝，
||＝，
所以||＝||，即CD＝AB.
(2)因为E为CD的中点，所以E.
设F(x,0)，则＝，
＝(x，－m)．
因为A，E，F三点共线，所以＝λ.
即(x，－m)＝λ.
则
故λ＝，即x＝，所以F，
所以||＝，即AF＝.
