2.3.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
解析：∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
答案：B
2．当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为( )
A．0° B．90°
C．180° D．0°或180°
解析：当向量a与b共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°.
答案：D
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A.(a－b) B．2b－a
C.(b－a) D．2b＋a
解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.
答案：B
4．在正方形ABCD中，与的夹角等于( )
A．45° B．90°
C．120° D．135°
解析：如图所示，
将平移到，则与的夹角即为与的夹角，夹角为135°.
答案：D
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________.
解析：＝－，＝－，∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，∴＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________.
解析：＝＋＝－＝b－a.
答案：b－a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
10．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：设向量a，b的夹角为θ，
作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(图略)，
a，b的夹角为180°－∠C.
∵|a|＝|b|＝|c|，∴∠C＝60°，∴θ＝120°.
答案：B
12.
如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋，所以λ＋μ＝.
答案：
13．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
解析：根据平面向量基本定理可设＝ma＋nb(m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵A、M、D三点共线，∴＝λ(λ为实数)，∴＝－λa＋b，
∴消去λ得m＋2n＝1.
而＝－＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵C、M、B三点共线，∴＝μ(μ为实数)，
∴＝－a＋μb，
∴消去μ得4m＋n＝1.
由解得∴＝a＋b.
14．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)与夹角的大小；
(2)与夹角的大小．
解析：
(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，
所以AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，
所以△ABC为直角三角形．
因为tanA＝＝＝，
所以A＝30°.
又因为D为AC的中点，所以∠ABD＝∠A＝30°，
＝.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，所以与的夹角为120°.
(2)因为＝，所以与的夹角也为120°.
课件29张PPT。2.3.1 平面向量基本定理
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
平面向量基本定理
b
b
平面内所有向量的
一组基底
a
a
向量夹角的概念
b
b
知识导图
学法指导
1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．
2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来．
3．在△ABC中，明确与的夹角与与的夹角互补.
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量基本定理的理解
(1)1，2是同一平面内的两个不共线的向量，1，2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解．
(3)基底1，2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
2．关于两向量的夹角
(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a与b同向．
③当θ＝180°时，a与b反向．
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
(3) 若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
答案：B
3．在△ABC中，向量，的夹角是指( )
A．∠CAB B．∠ABC
C．∠BCA D．以上都不是
解析：由两向量夹角的定义知，与的夹角应是∠ABC的补角，故选D.
答案：D
4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
解析：由图可知，＝4e1＋3e2.
答案：＝4e1＋3e2
类型一 平面向量基本定理的理解
例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
【解析】 ①设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
【答案】 ③
由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．
方法归纳
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
跟踪训练1 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．
答案：B
平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．
类型二 用基底表示平面向量
例2 如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
【解析】 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a.
解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．
方法归纳
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a，b表示；
(2)若本例中的基向量“，”换为“，”即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
解析：(1)由平面几何知识知BG＝BF，故＝＋＝＋＝a＋＝a＋b－a＝a＋b.
(2)＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b.
用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．
类型三 向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．
【解析】 如图，作＝a，＝b，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形．
所以与的夹角∠AOC＝60°，
与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°.
所以a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.
作图，由图中找到－与的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．
方法归纳
两个向量夹角的实质及求解的关键
(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．
(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．
跟踪训练3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．
解析：如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作?OACB，
则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形．
所以∠OAB＝60°＝∠ABC.
即a－b与a的夹角为60°.
因为|a|＝|b|，所以?OACB为菱形．
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°.
即a＋b与a的夹角为30°.
作出向量，，＋，－，利用平面几何知识求解．
2.3.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
解析：∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
答案：B
2．当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为( )
A．0° B．90°
C．180° D．0°或180°
解析：当向量a与b共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°.
答案：D
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A.(a－b) B．2b－a
C.(b－a) D．2b＋a
解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.
答案：B
4．在正方形ABCD中，与的夹角等于( )
A．45° B．90°
C．120° D．135°
解析：如图所示，
将平移到，则与的夹角即为与的夹角，夹角为135°.
答案：D
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________.
解析：＝－，＝－，∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，∴＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________.
解析：＝＋＝－＝b－a.
答案：b－a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
10．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：设向量a，b的夹角为θ，
作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(图略)，
a，b的夹角为180°－∠C.
∵|a|＝|b|＝|c|，∴∠C＝60°，∴θ＝120°.
答案：B
12.
如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋，所以λ＋μ＝.
答案：
13．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
解析：根据平面向量基本定理可设＝ma＋nb(m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵A、M、D三点共线，∴＝λ(λ为实数)，∴＝－λa＋b，
∴消去λ得m＋2n＝1.
而＝－＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵C、M、B三点共线，∴＝μ(μ为实数)，
∴＝－a＋μb，
∴消去μ得4m＋n＝1.
由解得∴＝a＋b.
14．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)与夹角的大小；
(2)与夹角的大小．
解析：
(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，
所以AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，
所以△ABC为直角三角形．
因为tanA＝＝＝，
所以A＝30°.
又因为D为AC的中点，所以∠ABD＝∠A＝30°，
＝.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，所以与的夹角为120°.
(2)因为＝，所以与的夹角也为120°.
