2.3.4
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1) B．(－6，－3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析：＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
答案：D
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案：C
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B.
C．1 D．2
解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝，故选A.
答案：A
4．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9,1) B．(9，－1)
C．(9,1) D．(－9，－1)
解析：设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.
答案：C
5．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
∴＝(3,1)，
∵＝(2m，m＋1)，∥，
∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0,2)＝，所以③正确；④因为＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．
答案：①③④
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.
解析：因为a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a＋b与c共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.
解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.
∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同；
当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．
∴x＝2.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝，
∵＝，∴＝.
∵＝(x1＋1，y1)＝，∴E，
∵＝(x2－3，y2＋1)＝，∴F，
∴＝.
又∵4×－×(－1)＝0，∴∥.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝( )
A．0 B．2
C．0或2 D．0或－2
解析：方法一 ∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即∴故选C.
方法二 由a＋λb＝0，知a＝－λb，故a∥b，所以2m＝m2，解得m＝0或2.
答案：C
12．已知向量a＝(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标________．
解析：向量a＝(1,2)，与a共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)．
答案：(2,4)(答案不唯一)
13．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
解析：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．易知＝(－2,6)，
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
14．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
课件23张PPT。2.3.4 平面向量共线的坐标表示
两向量平行的条件
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.
用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于＝.( )
(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线．( )
(3)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5) B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
解析：D中，b＝－2a.
答案：D
3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9 B．9
C．3 D．－3
解析：因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
答案：B
4．已知A(1,2)，B(4,5)．若＝2，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x,5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，
即解得
答案：(3,4)
类型一 向量共线的判定
例1 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2,3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
(2)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
【解析】 (1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，
＝(2,4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
【答案】 (1)D (2)见解析
(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练1 下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
答案：D
(x1，y1)，(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则，共线．
类型二 三点共线问题
例2 设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
【解析】 方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即
解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知，共线．
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
方法一由已知求、，利用＝λ，求k.
方法二与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练2 已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证点A，B，C共线．
证明：由题意知＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，所以＝，即与共线．
又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
由已知求、，若＝λ，则A、B、C共线．
类型三 向量共线的应用
例3 如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】 ∵＝＝(0,5)＝，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
∵∥，∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.
方法归纳
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练3 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1,5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4,1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4,1)，得解得因此，D点的坐标为(5,6).
设D(x，y)，由已知得＝，求D.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1) B．(－6，－3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析：＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
答案：D
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案：C
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B.
C．1 D．2
解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝，故选A.
答案：A
4．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9,1) B．(9，－1)
C．(9,1) D．(－9，－1)
解析：设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.
答案：C
5．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
∴＝(3,1)，
∵＝(2m，m＋1)，∥，
∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0,2)＝，所以③正确；④因为＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．
答案：①③④
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.
解析：因为a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a＋b与c共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.
解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.
∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同；
当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．
∴x＝2.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝，
∵＝，∴＝.
∵＝(x1＋1，y1)＝，∴E，
∵＝(x2－3，y2＋1)＝，∴F，
∴＝.
又∵4×－×(－1)＝0，∴∥.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝( )
A．0 B．2
C．0或2 D．0或－2
解析：方法一 ∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即∴故选C.
方法二 由a＋λb＝0，知a＝－λb，故a∥b，所以2m＝m2，解得m＝0或2.
答案：C
12．已知向量a＝(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标________．
解析：向量a＝(1,2)，与a共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)．
答案：(2,4)(答案不唯一)
13．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
解析：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．易知＝(－2,6)，
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
14．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
