必修五 2.1数列的概念与简单表示法
【学习目标】
理解数列的定义；
理解数列的几种简单表示；
理解数列的递推公式及由递推公式求数列的前n项。
【学习过程】
课前预习
数列的概念及分类是什么？
数列的通项公式是什么？数列和函数的关系是什么？
数列的其他表示方法。
探究活动
（一）、数列的概念及分类
1、数列的相关概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫作首项），排在第二位的数称为这个数列的第二项......排在第n位的数称为这个数列的第n项。所有，数列的一般形式可以写成简记为。
注意：（1），数列是一列数，即不止一个数；数列中项与项之间用“，”隔开。
，是两个不同的概念；数列的项与它的项数是两个不同的概念。
数列的分类
、按项数的多少来分类
、按每一项随序号的变化来分类
下列说法中，正确的是（ ）
数列1,3,5,7可表示为
数列1,0，-1，-2与数列-2，-1,0,1是相同的数列
数列的项可以相等
数列a,b,c和数列c,b,a一定不是同一数列
下列数列中，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）2000,2004,2008,2012;
（2）
（3）
（4）
（5）
、数列的通项公式
数列和函数的关系
数列可以看成以正整数集为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。
数列的通项公式
如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即。
已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式。
（1）1,3,5,15,31，...;
（2）4,44,444，4444，...;
已知数列的通项公式为
、求这个数列的第4项，第10项；
、试问：45是否是中的项？
（三）、数列的其他表示方法
1、列表法与图像法
数列是特殊的函数，所以与函数一样，数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图像来表示。
2、递推公式法
如果已知数列的第1项，且从第2项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式。
数列表示方法的优缺点
优点 缺点
通项公式法
列表法
图像法
递推公式法
若，则给出的数列的第七项目是（ ）
D.
已知数列满足=
、练一练
数列中，
设数列的首项为1的正项数列，且 ，则此数列的通项公式=
在数列中，，则=
若数列中最大项是第k项，则k=
5、数列满足=
6、数列满足，使得
若存在，求出n的值；若不存在，说明理由。
已知数列和的通项公式分别为
将集合中的元素从小到大一次排列，构成数列
必修五 2.2等差数列
【学习目标】
理解等差数列的概念；
掌握等差数列的通项公式；
理解等差中项；
理解等差数列与一次函数的关系。
【学习过程】
课前预习
什么是等差数列？
什么是等差中项？
等差中项的通项公式是什么？
等差数列与一次函数的关系是什么？
探究活动
、等差数列的概念
等差数列的定义
、文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫作等差数列的公差。
、符号语言：数列等差数列
注意:等差数列的每一项与它的前一项的差等于同一个常数；注意是公差d是后一项减前一项所得，不能颠倒前后项的位置；要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任意正整数n,是不是等于同一个常数，切不可通过计算几个有限式子的值后，根据它们都是同一个常数得出结论，因为由特殊到一般得出的结论不一定是正确的。
公差,当d=0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列。
等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫作a和b的等差中项。
、a,A,b成等差数列A-a=b-A
、若 ，则数列是等差数列，反之也成立。所以数列是等差数列，这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”
给出下列各数列，其中一定是等差数列的是 。
、1,2,4,6,8；
、7,7,7,7,7；
、m,m+n,m+2n,2m+n;
、a-d,a,a+d
已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.9
、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为。
等差数列通项公式的推导
方法一：归纳法
。
方法二：累加法
。
方法三：迭代法
。
方法二：逐差法
。
等差数列的通项公式中共含有四个量（首项，公差d,项数n和第n项），如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个。
等差数列通项公式的变形应用
已知等差数列中的任意两项则
这表明已知等差数列中的任意两项即可求出其公差，进而求得其通项公式。
已知等差数列中，首项=4，公差d=-2,则通项公式=
。
已知递增的等差数列满足=1，，则=
在等差数列中，已知
、等差数列和一次函数的关系
由等差数列的通项公式，可得
当时，等差数列的通项公式是关于自变量n的一次整式，一次项系数就是等差数列的公差。
已知数列的通项公式为，则数列为等差数列。其中公差为p。
关系列表
等差数列 一次函数
解析式
不同点
相同点
在数列中，，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则 .
已知（1,1），（3,5）是等差数列图像上的两点，则=
在等差数列中= 。
练一练
三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为最后一项的6倍，则这三个数为 。
已知单调递增的等差数列的前三项之和为21，前三项之积为231，则数列的通项公式= 。
在等差数列中，已知 。
在数列中，若是等差数列，则 。
若数列的通项公式为数列为等差数列。
设且
判断数列是否是等差数列；
求的值。
已知数列满足。
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式。
必修五 2.3 等差数列的前n项和
【学习目标】
掌握等差数列前n项和的公式；
掌握等差数列的基本量运算；
理解；
掌握等差数列前n项和公式的实际应用。
【学习过程】
一、学前预习
数列的前n项和是什么？
的关系是什么？
等差数列的求和公式及推导过程？
等差数列的前n项和公式与二次函数有什么关系？
探究活动
、等差数列的前n项和
数列的前n项和
、数列中，前n项的和记为。
、的关系：若数列的前n项和为，则通项公式
。
等差数列的前n项和
等差数列的求和公式
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为
首项为，公差为d,项数为n的等差数列的前n项和为
等差数列前n项和公式的推导
倒序相加法：
。
通项公式法：
。
注意：（1）、首项，公差d，末项，项数n，应根据题目的已知条件灵活选用求和公式。
（2）、等差数列的求和公式是基本的求和公式，它与梯形的面积公式相类似，可对比记忆。
例1、设数列的前n项和则（ ）
A.15 B.16 C.49 D.64
在等差数列中，，则的前10项和= = 。
已知等差数列的前5项之和为25，第8项等于15，则=
.
、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
关系列表
区别 联系
定义域 图像
利用上述关系可解决等差数列的前n项和的最大值或最小值的问题，一方面，前n项和是n的二次函数，即。另一方面要注意这个数列，有它的特殊性，即,因此并不一定是时，达到最大（或最小值），而是当时，;
时，n取与最接近的正整数即可。
2、一般的，对于等差数列，如果是确定的，前n项和
的图像上。注意这个二次函数的常数项为0.
三、练一练
。
。
必修五 2.4 等比数列
【学习目标】
理解等比数列的概念；
掌握等比数列的通项公式；
理解等比中项；
等比数列与指数函数的关系。
【学习过程】
课前预习
等比数列的定义分别用文字语言、符号语言怎么表述？
什么是等比中项？
等比数列的通项公式的形式是什么？
通项公式的推导方式有哪些？
等比数列的通项公式与指数函数的关系？
探究活动
、等比数列的概念
等比数列的定义：
、文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母.
（2）、符号语言：数列等比数列
注意：
才决定q的确定性。
公比等比数列，还可以理解为在等比数列中，不可能存在数值为0的项。
等比中项
一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项。
若G是a与b的等比中项，则
注意：（1）、同号非零两数才有等比中项，等比中项有两个，他们互为相反数。
（2）、一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比数列。
例1、下面各数列是等比数列的是 （填序号）。
（1）-1，-2，-4，-8；（2）1,2,3,4；
（3）x,x,x,x; （4）
例2、下面四个数列中是等比数列的为 （填序号）。
（1）、1,1,2,4,8,16,32,64；
（2）、在数列中，已知；
（3）、常数列a,a,...,a,...;
（4）、在数列中，。
、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为q,则这个等比数列的通项公式是
提示：（1）、在已知首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任何一项。
、在公式中，有，，，四个量，如果已知三个量，可求出第四个量。
、可以利用通项公式来判断数列是否是等比数列。
等比数列通项公式的推导
、方法一（归纳法）：
。
、方法二（累乘法）：
。
、方法三（迭代法）：
。
等比数列通项公式的变形应用
等比数列的通项公式与指数函数的关系
、等比数列的通项公式，还可以改写为，这是指数函数模型。
已知等比数列的首项为，公比为。
当 时，等比数列为递增数列。
当 时，等比数列为递减数列。
当 时，等比数列为常数列。
当 时，等比数列为摆动数列。
已知等比数列的首项为-2，它的第m项为48，第（m+1）项为192，则此数列的通项公式为 。
已知等比数列，若=
一个等比数列的前三项依次是那么 项。
练一练
已知数列是等比数列，其中成等差数列，则数列的通项公式= 。
已知数列为等比数列。若
的值为 。
已知是等差数列，公差d不为0，若且
则= ，d= 。
若等比数列的各项均为正数，且，则=
已知在数列中，。
、求证：数列是等比数列。
、求数列的通项公式。
已知递增数列的等比数列满足是的等差中项。
、求数列的通项公式；
、若的前n项和，求使成立的n的最小值。
必修五 2.5 等差数列的前n项和
【学习目标】
掌握等比数列的前n项和公式；
掌握等比数列的基本量运算；
掌握等比数列前n项和公式的实际应用。
重视利用方程思想、整体思想、分类讨论思想及等比数列的性质解决等比数列的问题，加深对等比数列本质的认识。
【学习过程】
探究活动
、等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
若等比数列的首项为，公差为,则其前n项和的公式为
公式的推导
、方法一（错位相减法）：
。
、方法二（定义法）：
。
、方法三（方程法）：
。
、方法一（累加法）：
。
注意：当，等比数列前n项和有两个公式。当已知，，n时，用较方便；当已知，与时，用较方便。需要强调的是必须慎用公式，即注意的不同情况。
数列1,3,...,,...的前n项和为（ ）
已知在等比数列中，
设等比数列的前n项和为，若则数列的公比= 。
、等比数列前n项和的性质
等比数列前n项和公式的函数特性
当=1时，是n的正比例函数
当且，，令，则
是关于n的一个指数式与一个常数的和。
当=1时，数列的图像是正比例函数图像上一群孤立的点；
当且时，数列的图像是函数图像上一群孤立的点。
等比数列前n项和的常见性质
连续m项的和仍组成等比数列。
证明：
、若项数为2n,则。
证明：
。
、。
证明：
。
等比数列的前n项和为，点在函数的图像上，则m=
如果数列的前n项和，那么数列是 数列。
等比数列中，
三、练一练
1、若等比数列满足则公比 ；
前n项和= .
2、已知等比数列是递增数列，是的前n项和。若是方程的两个根，则= 。
3、在等比数列中，是其前n项的和，若 = 。
4、在数列中，求的前n项和。
5、已知是等差数列，其前n项和为. 是等比数列，且，
、求数列与的通项公式；
、记，证明
6、设等差数列的公差为d,前n项和为，等比数列的公比为q。已知
（1）求数列，的通项公式；
（2）当的前n项和。
