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《24.1.1圆》导学案
课题 圆 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。3.从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。
重点难点 重点： 对圆的两种定义的理解难点：对圆的集合定义的理解
教学过程
知识链接 1、观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 2、【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
合作探究 知识点1、圆的两种定义观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 归纳：①圆的旋转定义： 在一个平面内，一条________绕它的一个_______旋转一周，另一个端点_____所形成的图形叫作圆。②有关概念圆心：固定的_______叫作圆心。 半径：线段OA的长度叫作这个圆的________，一般用r表示． 圆的表示方法：以点_______为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“________”。③确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其______；二是半径，半径确定其_________．你能说说下列两种圆的特征吗？ 同心圆（_______________） 等圆（__________________）从集合的角度认识圆：【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？ （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于__________________． （2）到定点的距离等于定长的点都在______________．通过上述问题，你能从集合的角度归纳圆的定义吗？④圆的第二定义： 所有到定点的_______等于定长的____________叫作圆。例1、矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. 知识点2、圆的有关概念观察下列图形，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 归纳：弦：连接圆上任意两点的_________叫作弦；直径：经过________的弦叫作直径；探索：圆中最长的弦是什么？为什么？结论：___________是最长的弦弧：圆上任意两点间的________叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条__________的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 优弧：大于半圆的弧叫作________，用三个字母表示，如上图中的 ；劣弧：小于半圆的弧叫作________，如上图中的。等圆:能够重合的两个圆叫做__________. 容易看出：等圆是两个半径_______的圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相__________的弧叫做等弧. 【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 例2、 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; (2)请写出以点A为端点的弦及直径 （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. .
自主尝试 1、填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是“___________”，而不是“圆面”。 （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的___________，半径决定圆的___________，二者缺一不可。2、以1cm为半径能画_________个圆，以点O为圆心能画_________个圆.3、如何画一个确定的圆？4、如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形. 5、判断下列说法的正误： （1）弦是直径； （2）半圆是弧； （3）过圆心的线段是直径； （4）半圆是最长的弧； （5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆； （6）半径相等的两个半圆是等弧．
当堂检测 1.下列命题中,其中正确的有( )①长度相等的两条弧是等弧; ②面积相等的两个圆是等圆; ③劣弧比优弧短; ④菱形的四个顶点在同一个圆上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于( ) A.70° B.60° C.50° D.40° 3.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当P点在上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值_______4.如图,已知在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心. 5.如图,射线OA经过☉O的圆心,与☉O相交于点A,点C在☉O上,且 ∠AOC=30°,点P是射线OA上的一个动点(与O不重合),直线PC与☉O相交于点B,问:(1)当点P在线段OA上满足BP=OB时,求∠OCP的度数. (2)当点P在线段OA的延长线上满足BP=OB时,求∠OCP的度数.
小结反思 ⒈本节课学习了哪些主要内容？ ⒉本节课你有什么收获和体会？ ⒊对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
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《24.1.1圆》导学案
课题 圆 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。3.从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。
重点难点 重点： 对圆的两种定义的理解难点：对圆的集合定义的理解
教学过程
知识链接 1、观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？2、【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？当车轮在地面 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E5%9C%B0%E9%9D%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?)滚动的时候，车轴离开地面的距离 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E8%B7%9D%E7%A6%BB&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?)，就总是等于车轮半径 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E5%8D%8A%E5%BE%84&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?)那么长。因此安装在车轴上的车厢 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E8%BD%A6%E5%8E%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?)，车厢里坐的人，都将平稳地被车子 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E8%BD%A6%E5%AD%90&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?)拉着走。如果车轮设计成三角形 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?)或是正方形 (?http:?/??/?www.so.com?/?s?q=%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "https:?/??/?wenda.so.com?/?q?/?_blank?),因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以运动起来也一定会颠簸！ 圆形的车轮、圆形的摩天轮、圆形的呼啦圈，这一系列的图形都具有圆，它是一个怎么样的图形，具有怎样的特征，我们这节课一起来学习。板书课题！
合作探究 知识点1、圆的两种定义观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 归纳：①圆的旋转定义： 在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。②有关概念圆心：固定的端点叫作圆心。 半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径，一般用r表示． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。③确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．你能说说下列两种圆的特征吗？ 同心圆（圆心相同、半径不同） 等圆（圆心不同、半径相同）从集合的角度认识圆：【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？ （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于__________________． （2）到定点的距离等于定长的点都在______________．答案：定长r、同一个圆上通过上述问题，你能从集合的角度归纳圆的定义吗？④圆的第二定义： 所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆。例1、矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.解：如图，连接AC、BD交与点O，在矩形ABCD中， ?∵OA=OC=AC?，OB=OD=BD，AC=BD?， ∴OA=OB=OC=OD?， ∴A、B、C、D者这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上?。小结：要证明几个点在同一个圆上，先确定圆心，再证明这几个点到圆心的距离相等。??知识点2、圆的有关概念观察下列图形，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 归纳：弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；注意：1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.探索：圆中最长的弦是什么？为什么？（学生自己动手操作、画图说明结论、然后教师在演示ppt）结论：直径是最长的弦弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的 ；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的。等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：等圆是两个半径相等的圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 【想一想】长度相等的弧是等弧吗？（可让学生自行画图操作、然后教师点评、最后强调、分析）结论：“等弧”要区别于“长度相等的弧”、等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 例2、 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; (2)请写出以点A为端点的弦及直径 （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.答案：（1）劣弧：优弧：（2）弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是和 .
自主尝试 1、填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是“___________”，而不是“圆面”。 （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的___________，半径决定圆的___________，二者缺一不可。答案：圆周、位置、大小2、以1cm为半径能画_________个圆，以点O为圆心能画_________个圆.答案：无数个、无数个3、如何画一个确定的圆？答案：圆心、半径都确定4、如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.解：连接OC,OD ∵OC=OD ∴∠C=∠D 又∵CE=DF ∴△OCE≌△ODF ∴OE=OF ∴△OEF是等腰三角形. 5、判断下列说法的正误： （1）弦是直径； （2）半圆是弧； （3）过圆心的线段是直径； （4）半圆是最长的弧； （5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆； （6）半径相等的两个半圆是等弧．答案：×、√、×、×、×、√
当堂检测 1.下列命题中,其中正确的有( )A ①长度相等的两条弧是等弧; ②面积相等的两个圆是等圆; ③劣弧比优弧短; ④菱形的四个顶点在同一个圆上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：等弧是在同圆或等圆中能够重合的弧,长度相等的两条弧不一定是等弧,故①错误;等圆的半径相等,面积相等的两个圆的半径相等,是等圆,故②正确;在不同的圆中劣弧不一定比优弧短,故③错误;菱形的对角线不一定相等,四个顶点到对角线交点的距离不一定相等,故四个顶点不一定在同一个圆上,故④错误.正确的有1个. 2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于( )D A.70° B.60° C.50° D.40° 3.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当P点在上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值_______ 【解析】不变.连接OP,∵直角三角形PAB中,AB2=PA2+PB2, 又∵矩形PAOB中,OP=AB,∴PA2+PB2=AB2=OP2.4.如图,已知在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心. 【证明】∵点D在∠BAC的角平分线上,∴∠1=∠2. 又∵DE∥AC,∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3,∴AE=DE. 又∵BD⊥AD于点D, ∴∠ADB=90°,∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°,∴∠EBD=∠EDB, ∴BE=DE,∴AE=BE=DE, ∴点E是过A,B,D三点的圆的圆心.5.如图,射线OA经过☉O的圆心,与☉O相交于点A,点C在☉O上,且 ∠AOC=30°,点P是射线OA上的一个动点(与O不重合),直线PC与☉O相交于点B,问:(1)当点P在线段OA上满足BP=OB时,求∠OCP的度数. (2)当点P在线段OA的延长线上满足BP=OB时,求∠OCP的度数. 【解析】(1)当P在线段OA上时,在△BOC中,OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB.在△OPB中,BP=OB,∴∠BOP=∠BPO.又∵∠BPO=∠OCB+∠AOC, ∠AOC=30°,∠BOP+∠BPO+∠OBC=180°, ∴3∠OCP=120°,∴∠OCP=40°.(2)当P在线段OA的延长线上时(如图), ∵OC=OB, ∴∠OBP= ①. ∵OB=BP, ∴∠OPB= ②. 在△OCP中,30°+∠BOC+∠OBP+∠OPB=180° ③. 把①②代入③得∠BOC=20°,则∠OBP=80°,∴∠OCP=100°.
小结反思 师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题： ⒈本节课学习了哪些主要内容？ 圆、弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、等与其相关的概念。 ⒉本节课你有什么收获和体会？ 体会了圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的紧密联系。 ⒊对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
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(共25张PPT)
24.1.1圆
人教版 九年级上
新知导入
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
新知导入
骑车运动
看了此画,你有何想法?
【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
新知讲解
1、圆的旋转定义（描述性定义）
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2、有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
·
O
A
一、圆的两种定义
新知讲解
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
3、确定一个圆的要素
巩固练习
1、填空：
（1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”，而不是“圆面”。
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ，二者缺一不可。
圆周
位置
大小
2、以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？
无数个圆
无数个圆
3、如何画一个确定的圆？
圆心、半径都确定
新知讲解
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．
（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
O
·
A
C
E
r
r
r
r
r
D
定长r
同一个圆上
4、圆的集合定义
【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？
从集合角度认识圆
例题讲解
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
巩固练习
4、如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
解：连接OC,OD
∵OC=OD
∴∠C=∠D
又∵CE=DF
∴△OCE≌△ODF
∴OE=OF
∴△OEF是等腰三角形.
新知讲解
二、圆的相关概念
弦:
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
注意
新知讲解
O
A
B
O
A
B
探索：圆中最长的弦是什么？为什么？
发现：直径是最长的弦
新知讲解
弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.
新知讲解
等圆:
能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
新知讲解
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
可见这两条弧不可能完全重合
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵
A
B
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？
C
D
巩固练习
5、判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
（2）半圆是弧；
（3）过圆心的线段是直径；
（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；
（4）半圆是最长的弧；
（6）半径相等的两个半圆是等弧．
×
√
×
×
×
√
例题讲解
例2 如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 和 .
劣弧：
优弧：
拓展提高
1.下列命题中,其中正确的有( )
①长度相等的两条弧是等弧;
②面积相等的两个圆是等圆;
③劣弧比优弧短;
④菱形的四个顶点在同一个圆上.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
D
拓展提高
3.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在
上,且不与M,N重合,当P点在 上,且不与M,N重合,当P点在 上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值___________
连接OP,∵直角三角形PAB中,AB2=PA2+PB2,
又∵矩形PAOB中,OP=AB,
∴PA2+PB2=AB2=OP2
.
不变
拓展提高
4.如图,已知在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
【证明】∵点D在∠BAC的角平分线上,∴∠1=∠2.
又∵DE∥AC,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,∴AE=DE.
又∵BD⊥AD于点D,
∴∠ADB=90°,∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°,∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,∴AE=BE=DE,
∴点E是过A,B,D三点的圆的圆心
拓展提高
5.如图,射线OA经过☉O的圆心,与☉O相交于点A,点C在☉O上,且
∠AOC=30°,点P是射线OA上的一个动点(与O不重合),直线PC与☉O相交于点B,问:
(1)当点P在线段OA上满足BP=OB时,求∠OCP的度数.
(2)当点P在线段OA的延长线上满足BP=OB时,求∠OCP的度数
解:(1)当P在线段OA上时,在△BOC中,OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
在△OPB中,BP=OB,∴∠BOP=∠BPO.
又∵∠BPO=∠OCB+∠AOC,∠AOC=30°,
∠BOP+∠BPO+∠OBC=180°,
∴3∠OCP=120°,∴∠OCP=40°.
拓展提高
(2)当P在线段OA的延长线上时(如图),
∵OC=OB,
∴∠OBP= ①.
∵OB=BP,
∴∠OPB= ②.
在△OCP中,
30°+∠BOC+∠OBP+∠OPB=180° ③.
把①②代入③得∠BOC=20°,
则∠OBP=80°,
∴∠OCP=100°.
课堂总结
圆
定义
旋转定义
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
作业布置
教材81页练习1、2题
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