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《24.1.2垂直于弦的直径》导学案
课题 垂直于弦的直径 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.掌握垂径定理及其推导过程。 2. 利用垂径定理解决圆的一般问题。
重点难点 重点： 垂径定理及其运用难点： 垂径定理及其运用
教学过程
知识链接 什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？
合作探究 活动一、拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 活动二、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？试一试证明你的发现！ 你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？ （1）垂径定理： （2）符号语言：∵是⊙的 又∵ ∴ = ； =_________ 我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试： 例如：① 直径过圆心 ③ 平分弦推出② 垂直于弦④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧证明这个结论。 形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．为什么强调这里的弦不是直径？ 类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!小组之间讨论垂径定理中出现的常见三角形，用于计算： 在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例、我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
自主尝试 1.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？2.如图所示: (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则_______________ 、_______________ 、_______________ . (2)若AM=MB, CD是直径, 则_______________ 、_______________ 、_______________ . (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则_______________、_______________ 、_______________ . (4)若= ，CD是直径, 则_______________ 、_______________ 、_______________ .3.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. ( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. ( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
当堂检测 1.如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( ) A.4 QUOTE B.8 C.2 D.42.已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( ) A.2cm B.4cmC.2cm或4cm D.2cm或4cm3.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为____________cm. ☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围为_____________.5.如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD. (1)求证:BC=BD.(2)已知CD=6,求☉O的半径长. 6.如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由.
小结反思 （1）这节课学了那些知识点？ （2）有关垂径定理的应用需要注意什么？ （3）什么样的习题是你没有掌握好的？ （4）有关所学的知识点你还有那些困惑？
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《24.1.2垂直于弦的直径》导学案
课题 垂直于弦的直径 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.掌握垂径定理及其推导过程。 2. 利用垂径定理解决圆的一般问题。
重点难点 重点： 垂径定理及其运用难点： 垂径定理及其运用
教学过程
知识链接 什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？ 圆也是轴对称图形吗？怎样验证一个图形是轴对称图形，是否圆也具有轴对称的性质呢？今天这节课我们一起来探索相关知识，板书课题。
合作探究 活动一、拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形。有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． 活动二、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？结论：AE=BE,即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.试一试证明你的发现！已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE＝BE， 证明：连结OA、OB，则OA＝OB． ∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合， AE和BE重合，、分别和、重合． ∴ AE＝BE，你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？ （1）垂径定理： （2）符号语言：∵是⊙的 又∵ ∴ = ； =_________ 我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试： 例如：① 直径过圆心 ③ 平分弦推出② 垂直于弦④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧证明这个结论。（这个证明方法类似上面的证法，教师点评）形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． 类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!小组之间讨论，最后教师归纳总结：垂径定理及推论小结：垂径定理的几个基本图形，教师展示ppt，垂径定理中出现的常见三角形，用于计算： 在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例、我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？分析：利用上述结论，∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m． 经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高． 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2解得OA≈27.9（m）∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．
自主尝试 1.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？答案：第1、3图是，第2图不是因为没有垂直，第3图因为AB没有过圆心。2.如图所示: (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则_______________ 、_______________ 、_______________ . (2)若AM=MB, CD是直径, 则_______________ 、_______________ 、_______________ . (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则_______________、_______________ 、_______________ . (4)若= ，CD是直径, 则_______________ 、_______________ 、_______________ .答案：（1）AM=MB、=、CD⊥AB、=、CD是直径、=、CD⊥AB、AM=MB、 3.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.× ( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.√ ( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.× ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.× ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. √
当堂检测 1.如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( )D A.4 QUOTE B.8 C.2 D.4解析:连接OC,如图,设OC的长为r, ∵AB=12,BP∶AP=1∶5, ∴AP=10,∴OP=4. 由垂径定理可得△OPC是直角三角形,并且CD=2CP. 在Rt△OCP中,由勾股定理CP===2,∴CD=2CP=4.2.已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( ) A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm 【解析】选C.①如图1所示,分别连接AC和AO,∵AB⊥CD,∴AM=AB=4 cm,在Rt△AOM中,OM===3(cm), CM=OC+OM=5+3=8(cm),在Rt△AMC中, AC===4(cm), ②如图2所示,由①可知OM=3cm, CM=OC-OM=5-3=2(cm),在Rt△AMC中,AC===2(cm).由①②得,AC的长为2cm或4cm. 【易错提醒】利用垂径定理和勾股定理求弦长时,要注意弦在圆上的位置,要多画图尝试,不要漏掉一种情况.3.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为__cm.答案:2 【解析】过圆心O作OD⊥AB于D,连接OA.根据题意,得OD=OA=1cm, 在Rt△ADO中,由勾股定理,得AD=cm,根据垂径定理,得AB=2cm. ☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长 的取值范围为_____________.答案:3≤OP≤5 【解析】如图,作OM⊥AB于M,连接OB,则BM=AB=×8=4. 在Rt△OMB中,OM===3.当P与M重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.5.如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD. (1)求证:BC=BD. (2)已知CD=6,求☉O的半径长. 【解析】(1)∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,∴CH=DH,BC=BD. (2)连接OC,∵CD平分OA, 设☉O的半径为r,则OH=r, ∵CD=6,∴CH=CD=3. ∵∠CHO=90°,∴OH2+CH2=CO2, ∴(r)2+32=r2,∴r=2. 故☉O的半径长是2. 【方法技巧】圆中经常用到作辅助线的方法 1.连接圆心和弦的端点作出半径. 2.过圆心作弦的垂线. 通过辅助线将垂径定理和勾股定理有机结合,化圆中问题为三角形问题.6.如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由. 【解析】如图,MEFN为货船的顶部,货船沿中心OC前进最有利,连接OA,ON,设CD交MN于H.∵AB=7.2,CD=2.4,EF=3,且D为AB,EF的中点, ∴OD⊥AB,OC⊥MN. 设OA=R,则OD=OC-CD=R-2.4,AD=AB=3.6,在Rt△OAD中,有OA2=AD2+OD2,即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9,在Rt△ONH中,OH===3.6,∴FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m),∵2.1 m>2 m,∴货船可以顺利通过这座桥.
小结反思 （1）这节课学了那些知识点？ （2）有关垂径定理的应用需要注意什么？ （3）什么样的习题是你没有掌握好的？ （4）有关所学的知识点你还有那些困惑？
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(共27张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
人教版 九年级上
新知导入
什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆也是轴对称图形吗？
新知讲解
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
结论：圆是轴对称图形。有无数条对称轴
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
新知讲解
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
线段：AE=BE
试一试证明你的发现！
新知讲解
新知讲解
你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
符号语言
图形语言
新知讲解
CD是直径、AB是弦，
CD⊥AB
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
垂径定理
将题设与结论调换过来，还成立吗？
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
新知讲解
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
新知讲解
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
D
为什么强调这里的弦不是直径？
类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!
新知讲解
垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
巩固练习
1.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为AB没有过圆心
巩固练习
(4)若 ，CD是直径,
则 、 、 .
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
则 、 、 .
(2)若AM=MB, CD是直径,
则 、 、 .
(3)若CD⊥AB, AM=MB,
则 、 、 .
2.如图所示:
AM=BM
CD⊥AB
CD是直径
CD⊥AB
AM=BM
巩固练习
3.判断：
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分
这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.
( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
√
?
?
?
√
新知讲解
垂径定理的几个基本图形：
归纳：
新知讲解
垂径定理三角形
d + h = r
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
归纳：
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
例题讲解
我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
例题讲解
用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
解：
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
解得 R≈27.9（m）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．
OA2=AD2+OD2
拓展提高
1.如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( )
D
2.已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
C
注意：利用垂径定理和勾股定理求弦长时,要注意弦在圆上的位置,要多画图尝试,不要漏掉一种情况.
拓展提高
3.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为_____________cm.
4.☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围为 .
3≤OP≤5
拓展提高
5.如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD.
(1)求证:BC=BD.
(2)已知CD=6,求☉O的半径长.
(1)∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,
∴CH=DH,BC=BD.
拓展提高
(2)连接OC,
∵CD平分OA,
设☉O的半径为r,
圆中经常用到作辅助线的方法
1.连接圆心和弦的端点作出半径.
2.过圆心作弦的垂线.
通过辅助线将垂径定理和勾股定理有机结合,化圆中问题为三角形问题.
小结：
拓展提高
6.如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由.
拓展提高
课堂总结
1、本节课你学到了哪些数学知识？
2、在利用垂径定理解决问题时，你
掌握了哪些数学方法？
作业布置
教材83页练习1、2题
谢谢
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