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《24.1.3弧、弦、圆心角》导学案
课题 弧、弦、圆心角 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 了解圆心角的概念，掌握弧、弦、圆心角关系定理及其结论。 能灵活应用弧、弦、圆心角关系定理及其结论解决实际问题 在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并与同伴交流，提高合作意识
重点难点 重点： 弧、弦、圆心角关系定理难点： 弧、弦、圆心角关系定理及其应用
教学过程
知识链接 1、圆的对称性如何？ 2、观察下列的变化，它是我们学过的什么图形，你还能说出这种图形的几个例子吗？
合作探究 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 同学们小组交流、可以自己动手试一试。 利用这种性质，我们可以探究圆的更多性质，下面我们一起来探究：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．观察旋转后的点N’的位置，你能得出什么结论？ 我们把顶点在____的角叫做圆心角． 概念总结：（如图所示）1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如________ . 2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为_______. 3.圆心角 ∠AOB所对的弦为_______.探究1、如图在同圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？动手试一试准备这样的一个图形，然后剪下来，操作，试试写出你的结论。探究2、如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?将你准备的具有这样条件的圆，剪下来，拼一拼，看看上述结论是否仍然成立？∵ 通过上述两个探究，你能的出什么结论？归纳总结：弧、弦与圆心角的关系定理：在__________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．注意：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 从圆心角定理中，我们发现有3个量：两个圆心角相等、两条弧相等、两条弦相等类比垂径定理的学习， 这三组关系分别轮换，其它关系是否成立?小组之间讨论，看看你能得出多少结论？ 例、 如图在⊙O中， ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
自主尝试 1.下列图形中表示的角是圆心角的是( )2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，
当堂检测 1.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( )A.=2 B.>2C.<2 D.不能确定2.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .3.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为 . 4.如图,=,若AB=3,则CD= . 5.如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证： 6.如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD, MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在☉O上.求证: EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
小结反思 通过本节课学习，你有什么收获，有什么疑惑，谈谈你的体会。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《24.1.3弧、弦、圆心角》导学案
课题 弧、弦、圆心角 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 了解圆心角的概念，掌握弧、弦、圆心角关系定理及其结论。 能灵活应用弧、弦、圆心角关系定理及其结论解决实际问题 在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并与同伴交流，提高合作意识
重点难点 重点： 弧、弦、圆心角关系定理难点： 弧、弦、圆心角关系定理及其应用
教学过程
知识链接 1、圆的对称性如何？ 圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。 2、观察下列的变化，它是我们学过的什么图形，你还能说出这种图形的几个例子吗？ 中心对称图形，如：线段、矩形、菱形、正方形等 圆也具有同样的特点吗？今天我们一起来探究这个问题，板书课题。
合作探究 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?同学们小组交流、可以自己动手试一试。然后教师展示ppt，动态演示，说明下列结论：圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.因此圆有旋转不变性。利用这种性质，我们可以探究圆的更多性质，下面我们一起来探究：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．观察旋转后的点N’的位置，你能得出什么结论？（教师动态演示ppt） 由此可以看出，点 N′仍落在圆上． 结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合． 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角． 概念总结：（如图所示） 1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB . 2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为. 3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.从这里分离出3个量，疑问：这三个量之间会有什么关系呢？ 探究1、如图在同圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？动手试一试准备这样的一个图形，然后剪下来，操作，试试写出你的结论。（教师动态演示ppt，让学生直观感受）∵ ∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1 ，AB= 证明：根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重合，B与B′重合探究2、如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?将你准备的具有这样条件的圆，剪下来，拼一拼，看看上述结论是否仍然成立？（教师最后演示ppt，强调结论）∵ ∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1 ，AB=通过上述两个探究，你能的出什么结论？归纳总结：弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．注意：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不能去掉.反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′， 但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′ 从圆心角定理中，我们发现有3个量：两个圆心角相等、两条弧相等、两条弦相等类比垂径定理的学习， 这三组关系分别轮换，其它关系是否成立? 小组之间讨论，看看你能得出多少结论？（最后教师在强调，形成总结）等对等定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 例、 如图在⊙O中， ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
自主尝试 1.下列图形中表示的角是圆心角的是( )A.【易错提醒】若一个角的顶点不在圆心,这个角一定不是圆心角.2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，答案：
当堂检测 1.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( ) A.=2 B.>2 C.<2 D.不能确定【解析】选A.在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,可得选项A正确.2.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .【解析】∵×360°=90°,∴弦所对的圆心角为90°.答案:90°3.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为 .【解析】∵==, ∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°, ∴∠AOE=180°-3×40°=60°.答案:60°4.如图,=,若AB=3,则CD= . 【解析】∵=, ∴-=-,即=, ∴CD=AB=3.5.如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：证明：连接AF, ∵AD∥BC,∴∠3=∠B,∠1=∠2. 又AB=AF,∴∠B=∠2,∴∠3=∠1,∴ 6.如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD, MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在☉O上.求证:解：连接OM,ON,则OM=ON. ∵MC⊥AB,ND⊥AB, ∴∠OCM=∠ODN=90°, 由OA=OB,AC=BD,得OC=OD, ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL), ∴∠AOM=∠BON,∴
小结反思 通过本节课学习，你有什么收获，有什么疑惑，谈谈你的体会。
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(共24张PPT)
24.1.3弧、弦、圆心角
人教版 九年级上
新知导入
圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。
1、圆的对称性如何？
O
B
A
C
D
2、观察下列的变化，它是我们学过的什么图形，你还能说出这种图形的几个例子吗？
中心对称图形，
如：线段、矩形、菱形、正方形等
新知讲解
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
圆有旋转不变性
新知讲解
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
由此可以看出，点 N′仍落在圆上．
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是圆 O 的一个圆心角．
N
O
N′
n°
巩固练习
1、下列图形中表示的角是圆心角的是( )
圆外角
圆内角
圆周角（后面会学到）
圆心角
A
新知讲解
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
概念总结：
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
新知讲解
如图在同圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
新知讲解
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，
∴点 A与 A′重合，B与B′重合
A
B
A′
B′
·O
新知讲解
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?
∵ ∠AOB=∠A1OB1
新知讲解
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
③AB=CD
弧、弦与圆心角的关系定理
归纳总结：
新知讲解
不能去掉.反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，
但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
新知讲解
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
两个圆心角相等
两条弧相等
两条弦相等
类比垂径定理的学习， 这三组关系分别轮换，其它关系是否成立?
新知讲解
在同圆或等圆中
题设
结论
等对等定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
21cnjy
知
一
得
二
巩固练习
2、如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
AB=CD
AB=CD
OE﹦OF
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
∵AB﹦CD ∴ AE﹦CF
∵OA﹦OC ∴Rt△AOE≌Rt△COF ∴OE﹦OF
●
例题讲解
证明：∵
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
例、 如图在⊙O中， ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
拓展提高
1.在同圆中,圆心∠AOB=2∠COD,则两条弧 与 的关系是( )
A. =2 B. >2 C. <2 D. 不能确定
A
2.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .
90°
拓展提高
3.如图,AB是☉O的直径, = = ，∠COD=40°则∠AOE的度数为_______________.
60°
4.如图 = ,若AB=3,则CD=___________.
3
拓展提高
5.如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作
⊙A，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：
拓展提高
6.如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD, MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在☉O上.求证:
拓展提高
方法小结：
同一圆中证明两弦相等的“四种方法”
1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等.
2.若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等.
3.在同一圆中证明两弦所对的弧相等(同一类弧).
4.证明两弦所对的圆心角相等.
课堂总结
1、三个元素：
圆心角、弦、弧
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等
(3) 弦相等
知一得二
作业布置
教材85页练习2题
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