第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．
1．向量：既有________，又有________的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．
3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．
(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量a平行于b，记作________．
②规定：零向量与__________平行．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列条件中能得到a＝b的是( )
A．|a|＝|b|
B．a与b的方向相同
C．a＝0，b为任意向量
D．a＝0且b＝0
3．下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )
A．总成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
5．下列各命题中，正确的命题为( )
A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B．模为0的向量与任一向量平行
C．向量就是有向线段
D．|a|＝|b|?a＝b
6．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
8．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①__________；②____________；③____________.
10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．
三、解答题
11. 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
12. 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
能力提升
13. 如图，已知＝＝.
求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
14. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．
2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
答案
知识梳理
1．大小 方向 2.
3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量
作业设计
1．D 2.D
3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]
4．C [当b＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]
5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]
6．C [向量∥包含所在的直线平行于所在的直线和所在的直线与所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错．]
7．①③④
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
8．菱形
解析 ∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线
10.，，
解析 ∵E、F分别为△ABC对应边的中点，
∴EF∥BC，
∴符合条件的向量为，，.
11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
12．解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：与.
13．证明 (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.
14．解 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
教学目标：
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教学思路： （一）
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上
都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
（四）理解和巩固：
例1 书本75页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
课堂练习：
书本77页练习1、2、3题
三、小结 ：
描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示；
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
四、课后作业：
《学案》P49面的学法引导，及P44面的单元检测卷。
课件25张PPT。2.1向量的物理背景与
概念及几何表示 老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追
去，设问：猫能否追到老鼠？ ABCD情境设置 老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追
去，设问：猫能否追到老鼠？ ABCD 猫的速度再快
也没用，因为方向
错了.结论：情境设置 请同学指出哪些量既有大小又有方向？
哪些量只有大小没有方向？讲授新课讲授新课1. 向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫向量.讲授新课1. 向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫向量.讲授新课(1)数量与向量有何区别？
(2)如何表示向量？
(3)有向线段和线段有何区别和联系？分别
可以表示向量的什么？
(4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1
的向量叫什么向量？阅读教材，回答下列问题：讲授新课(5)满足什么条件的两个向量是相等向量？
单位向量是相等向量吗？
(6)有一组向量，它们的方向相同或相反，
这组向量有什么关系？
(7)如果把一组平行向量的起点全部移到一
点O，这是它们是不是平行向量？这时
各向量的终点之间有什么关系？阅读教材，回答下列问题：讲授新课A(起点) B
(终点)a 数量只有大小，是一个代数量，可以
进行代数运算、比较大小；向量有方向，
大小，双重性，不能比较大小. 2. 数量与向量的区别：讲授新课3. 向量的表示方法：①用有向线段表示；
②用字母a、b(黑体，印刷用)等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：的大小——长度称为向量的模，向量记作.；讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
4. 有向线段：讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
4. 有向线段：讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点
无关，只要大小和方向相同，这两个向
量就是相同的向量；
(2)有向线段有起点、大小和方向三个素，
起点不同，尽管大小和方向相同，也是
不同的有向线段.4. 有向线段：讲授新课5. 零向量、单位向量概念：②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.①长度为0的向量叫零向量，记作0.
0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.讲授新课5. 零向量、单位向量概念：②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.①长度为0的向量叫零向量，记作0.
0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制
了大小.讲授新课abc6.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.讲授新课6.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.abc说明：
(1) 综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2) 向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.讲授新课例1. 如图，试根据图
中的比例尺以及三地
的位置，在图中分别
用向量表示A地至B、
C两地的位移，并求
出A地至B、C两地的
实际距离(精确到1km).ABC讲授新课例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？讲授新课讲授新课不一定零向量例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？讲授新课不一定零向量平行向量例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？讲授新课不一定零向量平行向量练习.教材P.77练习第1、2、3题.例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？描述向量的两个指标：模和方向.
2. 平面向量的概念和向量的几何表示；
3. 向量的模、零向量、单位向量、平行
向量等概念.课堂小结 阅读教材P.74-P.76；
《学案》P.49的学法引导；
《学案》P.44的单元检测卷.课后作业2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案
【学习目标】
1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
【重点难点】
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.；
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
【学法指导】
通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
【知识链接】
（一）、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
（二）、新课预习：
1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
数量与向量有何区别？
如何表示向量？
有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各
向量的终点之间有什么关系？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
1、数量与向量的区别？
-
2.向量的表示方法？
①
②
③
④向量的大小――长度称为向量的模，记作 。
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： 。
向量与有向线段的区别：
（1） 。
（2） 。
4、零向量、单位向量概念：
① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
② 叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义： 叫相等向量。[来源:学*科*网]
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为 （与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
三、理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例3下列命题正确的是（ ）?
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线?
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点?
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量?
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？
【基础达标】：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.?
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?
②单位向量都相等；?
③任一向量与它的相反向量不相等；?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；?[来源:Z。xx。k.Com]
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
2．书本88页练习
【拓展提升】
1．下列各量中不是向量的是（ ）
?A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度
2.下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆
4．已知非零向量,若非零向量，则与必定 .
5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .[来源:学_科_网Z_X_X_K]
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则 [来源:学科网ZXXK]
双基限时练(十三)
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
1．下列说法中正确的个数是( )
(1)零向量是没有方向的 (2)零向量的长度为0
(3)零向量的方向是任意的 (4)单位向量的模都相等
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
2．在下列命题中，正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
解析 分析四个选项知，C正确．
答案 C
3．设a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A. a＝b
B．若a∥b，则a＝b
C. a＝b或a＝－b
D．若a＝c，b＝c，则a＝b
答案 D
4．设M是等边△ABC的中心，则，，是( )
A．有相同起点的向量
B．相等的向量
C．模相等的向量
D．平行向量
解析 由正三角形的性质知，|MA|＝|MB|＝|MC|.
∴||＝||＝||.故选C.
答案 C
5．如右图，在四边形ABCD中，其中＝，则相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 由＝知，四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质知，||＝||，且方向相同，故选D.
答案 D
6．下列结论中，正确的是( )
A．2014 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
解析 一个单位长度取作2014 cm时，2014 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；易确定B正确，C选项为平行向量；D选项的表示从点A到点B的位移．
答案 B
7．如图，ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数是________．
解析 如图所示，满足条件的向量有，，，，，，，共8个．
答案 8个
8．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．
解析 这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线．
答案 一条直线
9．如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．
解析 注意到从A点出发，这些向量的顺序是a，e，d，c，b.
答案 a，e，d，c，b
10．给出下列说法
(1)若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若a∥b，则a＝b；
(3)若a＝b，则a∥b；
(4)若a＝b，则|a|＝|b|；
(5)若a≠b，则a与b不是共线向量，其中正确说法的序号是________．
解析 (1)错误．因为两个向量不能比较大小．
(2)错误．若a∥b，则a与b的方向不一定相同，模也不一定相等，故无法得到a＝b.
(3)正确．若a＝b，则a与b的方向相同，故a∥b.
(4)正确．若a＝b，则a与b模相等，即|a|＝|b|.
(5)错误．若a≠b，则a与b有可能模不相等但方向相同，所以有可能是共线向量．
答案 (3)(4)
11．如下图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量平行的向量；
(3)与向量模相等的向量；
(4)与向量模相等、方向相反的向量．
解 (1)与向量相等的向量有.
(2)与向量平行的向量有，，，，.
(3)与向量模相等的向量有，，.
(4)与向量模相等、方向相反的向量有，.
12．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北45°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解 (1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与平行．
又||＝||＝100 km，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴||＝||＝200 km.
13.
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC的中点，求证：向量与共线．
证明 ∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.
∴四边形DBCE是梯形．
又∵F，G分别是DB，EC的中点，
∴FG是梯形DBCE的中位线．
∴FG∥DE.
∴向量与共线．
