课件25张PPT。2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时， |+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，
当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，
当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；
若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
练习：P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：《习案》作业十八。
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
课件85张PPT。2.2.1向量加法运算
及其几何意义复习引入向量的定义以及有关概念. 向量是既有大小又有方向的量.长度
相等、方向相同的向量相等.因此，我们
研究的向量是与起点无关的自由向量，
即任何向量可以在不改变它的方向和大
小的前提下，移到任何位置 .问题
数可进行加法运算：1＋2＝3 ．那
么向量的加法是怎样定义的？长度是1
的向量与长度是2的向量相加是否一定
是长度为3的向量呢？复习引入情境设置ABC 某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：情境设置 某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：ABC情境设置ACBCAB(2) 若上题改为从A到B，再从B按反方向
到C， 则两次的位移和： 某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：情境设置ACBCAB(2) 若上题改为从A到B，再从B按反方向
到C， 则两次的位移和： 某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：情境设置(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： A BC情境设置(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： A BC情境设置(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： A BC(4)A BC情境设置(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： A BC(4)A BC讲授新课 向量的加法：讲授新课 向量的加法： 求两个向量和的运算， 叫做向量的
加法.讲授新课2. 三角形法则讲授新课AB2. 三角形法则讲授新课ACB2. 三角形法则讲授新课ACB2. 三角形法则讲授新课ACB2. 三角形法则讲授新课ACB2. 三角形法则讲授新课ACB2. 三角形法则讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)讲授新课ACB2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)ABCD讲授新课练习.ABCD讲授新课练习.ABCD讲授新课练习.ABCD讲授新课练习.ABCD讲授新课练习.ABCD讲授新课练习.ABCD讲授新课练习.AB 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课ABC 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课ABC 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课ABC 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABC 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCE 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCE 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEF 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEF 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEFJ 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEFJ 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEFKJ 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEFKJ 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEFKJ 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课DABCEFKJ 如果三个向量相加，四个向量相加，
…n 个向量相加，和向量又如何？讲授新课D讲授新课探究：
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系？ 讲授新课探究：
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量.讲授新课(2)探究：讲授新课(2)探究：讲授新课 (2)探究：讲授新课(2)探究：讲授新课 (2)探究：讲授新课(2)探究：讲授新课 (2)探究：讲授新课 (2)探究：讲授新课讲授新课OA讲授新课OAB讲授新课OAB讲授新课OAB讲授新课3. 加法的交换律和平行四边形法则问题：OAB讲授新课3. 加法的交换律和平行四边形法则问题：OAB讲授新课(1)向量加法的平行四边形法则
（对于两个向量共线不适应）
(2)向量加法的交换律： 3. 加法的交换律和平行四边形法则BCD讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:ADBC讲授新课4. 你能证明向量加法的结合律:讲授新课例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过
轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A
点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向
行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
试用向量表示江水速度、船速以及船实际航
行的速度(保留两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水
速度间的夹角表示, 精确到度).讲授新课例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过
轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A
点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向
行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
试用向量表示江水速度、船速以及船实际航
行的速度(保留两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水
速度间的夹角表示, 精确到度).BACD讲授新课变式1.一艘船从A点出发以 km/h的速
度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航
行速度的大小为4km/h，求水流的速度.讲授新课变式2. 一艘船从A点出发以v1的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，
船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向
与水流间的夹角是60o，求v1和v2.讲授新课变式2. 一艘船从A点出发以v1的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，
船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向
与水流间的夹角是60o，求v1和v2.练习. 教材P.84第1、2题. 向量加法的几何意义；
交换律和结合律；
当且仅当方向相同时取等号.课堂小结 阅读教材P.80-P.84；
《习案》作业十八.课后作业 你能用向量加法证明：两条对
角线互相平分的四边形是平行四边
形吗？课后思考
§2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．
1．向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______________.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.
一、选择题
1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示( )
A．向东南航行 km B．向东南航行2 km
C．向东北航行 km D．向东北航行2 km
2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
3．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B.
C. D.
6. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
10. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________.
三、解答题
11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．
能力提升
13．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
14．在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
§2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
答案
知识梳理
1．(1) a＋b 0 a a (2)OA OB 平行四边形
2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．A 2.C 3.D 4.A
5．C [＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]
6．B [|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.]
7．0
解析 注意＋＝0，＋＝0.
8．2
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
9．8
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
10．(1) (2)0 (3) (4)
11．解
如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5 (km/h)．
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5 (km/h)，||＝＝10 (km/h)，
∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.
12．证明 ＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
13．0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
14．解
如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4 ，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8 ，∠BAD＝120°.
即船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》导学案
【学习目标】
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
【重点难点】
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
【学法指导】
通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。
【知识链接】
复习：提问向量的定义以及有关概念。[来源:Zxxk.Com]
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和： 。
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和： 。
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： 。
（4）船速为，水速为，则两速度和：
。
3、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
１、向量的加法： 叫做向量的加法.
２、三角形法则（“ ”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： 。
探究：（1）两相向量的和仍是 ；
（2）当向量与不共线时，+的方向 ，且|+| ||+||；
（3）当与同向时，则+、、 且|+| ||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+| ||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b| ||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例1、已知向量、，求作向量+[来源:Zxxk.Com]
作法：
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
５．向量加法的结合律：
证：
[来源:学科网ZXXK]
6、应用举例：
例二（P94—95）
练习：P95
[来源:学科网ZXXK]
【拓展提升】
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h[来源:学。科。网Z。X。X。K]
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
参考答案：略
双基限时练(十五)
1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a∥b B．a≠b
C．|a|≠|b| D．b＝－a
解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|.
答案 C
2．给出下列四个结论：
①＝＋； ②－＝；
③＋＋＝0; ④|a＋b|≥|a－b|.
其中错误的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①正确，②错误，∵－＝＋＝≠.③错误，∵＋＋＝0≠0.④错误，当a与b方向相反时，有|a＋b|<|a－b|.综上知，仅①正确，故选C.
答案 C
3．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．a－b
C．－a－(－b) D．－a＋(－b)
解析 ＝＋＝－＝b－a.故选C.
答案 C
4．如图，P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＝，则( )
A.＝
B.＝
C.＋＝
D.－＝
解析 由题意知，BP是以，为邻边所作平行四边形的对角线，＋＝＋＝.
答案 C
5．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析 ∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
∴＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝0.
答案 A
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则由加减法的几何意义可知＝＋，＝－，因为|＋|＝|－|，所以||＝||.
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
答案 C
7．若菱形ABCD的边长为2，则|－－|＝________________________________________________________.
解析 |－－|＝|＋＋|＝||＝2.
答案 2
8．如图，平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________．
解析 ∵＋＝＋，
∴－＝－.
即＝.又A，B，C，D四点不共线，
∴||＝||，且BA∥CD，故四边形ABCD为平行四边形．
答案 平行四边形
9．已知a与b均为非零向量，若|a－b|＝||a|－|b||，则a与b方向________．
解析 当a与b不共线时，如图1，a－b＝，||>|||－|||可得|a－b|>||a|－|b||；
当a与b反向时，如图2，知a－b＝，||>|||－|||，∴|a－b|>||a|－|b||.
当a与b同向时，如图3，a－b＝，||＝|||－|||，∴|a－b|＝||a|－|b||.
答案 相同
10．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②③④
11．如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 ∵＝a，＝b，＝c，
＝d，＝e，
∴(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
12.
如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作向量b＋c－a.
解 以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
13．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解 如下图，设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，
∴四边形ABCD是矩形，故AD⊥AB.
在Rt△ABD中，
