2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________.
一、选择题
1. 在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
2．化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
4．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A. ＝0 B. ＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形
5．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
8．化简(－)－(－)的结果是________．
9. 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．
10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.
三、解答题
11. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
12. 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，
(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
能力提升
13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量＝a、＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
答案
知识梳理
(1)相反向量 (2) (3)始点 终点
作业设计
1．A 2.B 3.B
4．C [＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．]
5．C [∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||.
∴3≤|－|≤13.
∴3≤||≤13.]
6．D [
如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋
＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.]
7.
8．0
解析 方法一 (－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二 (－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
9．a－b＋c
解析 ＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
10．4
解析 如图所示．
设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则|O|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.
故|O|2＋|O|2＝|B|2，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，所以?OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，
即|a＋b|＝4.
11．证明 方法一 ∵b＋c＝＋＝＋＝，
＋a＝＋＝，
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
方法二 ∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
12．解 (1)由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
13．解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，
＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
14．证明 作直径BD，连接DA、DC，则＝－，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
∴CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形．
∴＝，
又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.
课件20张PPT。2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
了解相反向量的概念；
掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中， . 解：
提出课题：向量的减法
用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 (a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(((a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ((a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = (b， b = (a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ( b = a + ((b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ( b
求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ( b
∵(a(b) + b = a + ((b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b 则= a ( b
即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1(表示a ( b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2(用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b)
探究：
如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ( a.
２）若a∥b， 如何作出a ( b ？
例题：
例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a(b、c(d.
解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d，
作， ， 则= a(b， = c(d
例二、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得： = a + b， = = a(b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a(b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a(b|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与a(b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：1。Ｐ87面1、2题
2．在△ABC中， =a， =b，则等于( B )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：《习案》作业十九
课件56张PPT。2.2.2向量减法运算
及其几何意义复习回顾1.向量加法的三角形法则复习回顾1.向量加法的三角形法则2.向量加法的四边形法则复习回顾1.向量加法的三角形法则2.向量加法的四边形法则讲授新课1. 向量是否有减法?探究讲授新课1. 向量是否有减法?2. 向量的减法是否与数的减法有类
似的法则?探究讲授新课1. 相反向量：讲授新课1. 相反向量：讲授新课1. 相反向量：讲授新课1. 相反向量：讲授新课1. 相反向量：讲授新课1. 相反向量：讲授新课2. 向量的减法：讲授新课2. 向量的减法：讲授新课2. 向量的减法：讲授新课2. 向量的减法：思 考 讲授新课2. 向量的减法：思 考 讲授新课?ABC2. 向量的减法：讲授新课?ABC分 析：2. 向量的减法：讲授新课?ABC分 析：2. 向量的减法：讲授新课?ABC分 析：2. 向量的减法：讲授新课2. 向量的减法：向量减法法则:讲授新课2. 向量的减法：向量减法法则: 两向量起点相同，则差向量就是连结
两向量终点，指向被减向量终点的向量.讲授新课2. 向量的减法：向量减法法则:注 意: 两向量起点相同，则差向量就是连结
两向量终点，指向被减向量终点的向量.(1)起点相同；讲授新课2. 向量的减法：向量减法法则:注 意: 两向量起点相同，则差向量就是连结
两向量终点，指向被减向量终点的向量.(1)起点相同；(2)指向被减向量的终点.讲授新课练习1.(1)讲授新课练习1.？(1)讲授新课练习1.？(1)讲授新课练习1.(2)ABC讲授新课练习1.(2)ABC讲授新课练习1.(3)讲授新课练习1.(3)讲授新课练习1.(3)讲授新课练习1.(3)讲授新课练习1.(3)讲授新课例1.讲授新课O例1.讲授新课OA例1.讲授新课OAB例1.讲授新课OAB例1.讲授新课OABC例1.讲授新课OABCD例1.讲授新课OABCD例1.讲授新课OABCD作法：例1.讲授新课OABCD作法：例1.讲授新课例2.讲授新课解：例2.讲授新课解：例2.讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课例3.DCABO讲授新课练习2. 比较大小：讲授新课练习2. 比较大小：练习3. 教材P. 87第1、2、3题.课堂小结 向量的减法的定义及向量减
法的三角形法则及运用. 阅读教材P.85-P.86；
《习案》作业十九.课后作业2.2.2 《向量的减法运算及其几何意义》导学案
【学习目标】
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
【重点难点】
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
【学法指导】
复习回顾向量的加法法则及其运算律，为本节新授内容做好铺垫。
【知识链接】
向量加法的法则： 。
向量加法的运算定律： 。
例：在四边形中，CB+BA+BC= .
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .[来源:学科网]
提出疑惑：向量有加法运算，那么它有减法吗？
【学习过程】
提出课题：向量的减法
用“相反向量”定义向量的减法[来源:学科网]
（1）“相反向量”的定义： 。
（2） 规定：零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是 .a + (-a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0
（3）向量减法的定义： .
即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2、用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作 。
求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：
注意：1(表示a -b.强调：差向量“箭头”指向
2(用“相反向量”定义法作差向量，a -b = 。
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
探究：
（1）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是 。
[来源:学科网]
（2）若
a∥b， 如何作出a - b ？
二、例题：
例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.
例2、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
[来源:学科网]
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a(b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a(b|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与a(b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
【拓展提升】
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：?
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
参考答案：
1、D 2、D 3、f,e,f,0 4、略[来源:学。科。网Z。X。X。K]
双基限时练(十六)
1．给出下列四个结论
①－＝；
②0(a)＝0；
③0(0)＝0；
④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①－＝，∴①错．②0(a)＝0，∴②错．
③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.
答案 B
2．下列叙述不正确的是( )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
B. b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
解析 判断a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.
答案 A
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，且有一个公共点B，∴A，B，D三点共线．
答案 A
4．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则为( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析 如右图所示，设AD与BE相交于O，则＝，＝，＝，＝.
∴＝2＝2(＋)
＝2＝b＋a，应选B.
答案 B
5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果＝3e1，＝3e2，那么等于( )
A．e1＋2e2 B. 2e1＋e2
C.e1＋e2 D.e1＋e2
解析 如图所示，＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A.
答案 A
6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
解析 易得－＝λ，即＝λ，
从而∥.
又，有一个公共点P，
所以C，P，A三点共线．又λ∈R，
所以点P在直线AC上．
答案 B
7．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
8．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
解析 (4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
a－2c＋15c－12b＝0，
∴13c＝12b－a，
∴c＝b－a.
答案 b－a
9．有下面四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m，n和非零向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中真命题有________．
解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．
答案 ①②④
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于__________．
解析 由＝2，
得－＝2(－)
?＝＋，
所以λ＝.
答案
11．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)；
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
＝6a＋4b.
(2)原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]
＝(－3a＋6b)
＝2b－a.
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b
＝－2(m＋n)b.
12．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，
所以＝3，＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
13．已知：＝3，＝3，且B，C，D，E不共线．
求证：BC∥DE.
证明 ∵＝3，＝3，
∴＝－＝3－3
＝3(－)＝3.
∴与共线．
又∵B，C，D，E不共线．
∴BC∥DE.
