2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝__________.
(2)λa (a≠0)的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝____________.
(3)λ(a＋b)＝____________.
特别地，有(－λ)a＝____________＝________；
λ(a－b)＝____________.
3．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．
4．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝__________________.
一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于( )
A．0 B. C. D．3
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于( )
A．8 B．4 C．2 D．1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.
8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
9. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号)
①－＋
②－－
③－
④＋
10. 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)
三、解答题
11．两个非零向量a、b不共线．
(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
12. 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)
能力提升
13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0
2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb
3．b＝λa
4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b
作业设计
1．D [当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．]
2．C [∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．]
3．D [＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．]
4．B [∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.]
5．C [∵＝＋＝4，
∴＝3.
∴＝－＝＋－
＝＋－
＝＋(－)－
＝－
∴r＝，s＝－，r－s＝.]
6．C [∵2＝16，
∴||＝4.又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4.
∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.]
7.a－b＋c
8．1
解析 ∵A，B，C三点共线，∴?λ∈R使＝λ.
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
9．①
解析 －＋＝＋＝＋＝.
10.(b－a)
解析 ＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
11．(1)证明 ∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，∴A、B、D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴?k＝±.
12．证明 设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．B [为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
14．B [
如图所示，
∵E是OD的中点，
∴＝＝b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝.
∴＝3，∴＝.
在△AOE中，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.]
课件23张PPT。2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）； （2）；
（3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量
4．练习
计算： （1）
（2）
（3）教材P90面5题
5．思考
例3．
例4．教材例7。
三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。
课件61张PPT。2.2.3向量数乘运算
及其几何意义复习回顾复习回顾复习回顾O复习回顾OA复习回顾OAB复习回顾OABC复习回顾OABC复习回顾OABC讲授新课讲授新课P讲授新课DPE讲授新课DPE讲授新课FDPE讲授新课FDPE讲授新课FDPE讲授新课FDP讲授新课实数与向量的积的定义： 讲授新课实数与向量的积的定义： 讲授新课实数与向量的积的定义： 讲授新课实数与向量的积的定义： 讲授新课实数与向量的积的定义： 讲授新课注意： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课实数与向量的积的运算律： 讲授新课讲授新课讲授新课教材P.90练习第5题.讲授新课思考讲授新课思考 结 论：讲授新课思考讲授新课思考 结 论：讲授新课 结 论：讲授新课讲授新课DCABM讲授新课DCABM练习3. 教材P.90练习第1、2、3、4题.课堂小结1. 实数与向量积的定义与运算；2. 向量共线的判断： 阅读教材P.87-P.90；
《习案》作业二十.课后作业课件29张PPT。习题课HGACEBDFBACNMAEBDFCDEACMB课堂小结1. 向量加法、减法、数乘的运算；
2. 向量加法、减法、数乘的运算律；
3. 共线向量定理及应用.课后作业《学案》P.60双基训练.2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案
【学习目标】
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；[来源:学科网]
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
【重点难点】
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【学法指导】
通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。
【知识链接】
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
【学习过程】
1、探索研究
1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：[来源:学.科.网]
（1） .
（2） .
2）运算律：
问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生： .
师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）； （2）； （3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
3）向量平行的充要条件：
请同学们观察，，回答、有何关系？
生： .
引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
生： .
师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．
解：∵
∴与平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.[来源:学*科*网]
思考：如何用来表示？
2．例题与练习：
题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：
用、表示； （2）用、表示.
题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：
[来源:Z*xx*k.Com]
题3：如图，已知，，，求证：∽
[来源:Zxxk.Com]
练习：
P145 1、2、3、4
【学习反思】
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
4．作业布置：
练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5.P89习题3 B组 2、3.
【拓展提升】
设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。
